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P4550 收集邮票

news 2026/6/11 21:14:33

难度	算法s	日期	题目链接
提高+/省选−	数学期望、递推、倒推	2025-07-21	https://luogu.com.cn/problem/P4550

这道题，巧妙之处在于如何推出期望的递推式。太妙了，回味无穷。慢慢消化吧。

题意简述

总共有 \(n\) 种邮票，我们希望每种邮票至少买到一张。每次购买时，买到任意一种邮票是等可能的。而且我们第 \(k\) 次购买时，需要花费 \(k\) 元钱。

求：花费的期望。

Part I

（\(99\%\) 是老师讲解才懂的）

如果直接求 “要买到 \(k\) 种邮票，期望的购买次数”，很难推。不妨先求出：已经买到 \(k\) 种邮票，期望还要买几次，我们记为 \(f_k\)。体会这里的妙处，前者从前往后考虑（正推），后者从后往前考虑（倒推）。正难则反。 为什么倒推能成呢？因为边界条件 \(f_n=0\)，我们是知道的。

在已经买到 \(k\) 种邮票的情况下，我们再买一张，有两种可能：

买到的邮票已经在这 \(k\) 种中，概率为 \(k/n\)；这种情况下，状态不会转移，所以期望还要买的次数为 \((k/n)\times f_k\)。
买到了新的邮票，概率为 \((n-k)/n\)；这种情况下，状态发生转移，期望还要买的次数为 \([(n-k)/n]\times f_{k+1}\)。

于是得出了递推式：

\[f_k=(\frac{k}{n}\times f_k+\frac{n-k}{n}\times f_{k+1})+1. \]

（末尾的 \(+1\) 是当前消耗一个次数，前面那串是之后消耗的次数。）当然这不是真正的递推式。我们分离出 \(f_k\)：

\[(1-\frac{k}{n})f_k=\frac{n-k}{n}f_{k+1}+1\\ \Rightarrow f_k=f_{k+1}+\frac{n}{n-k}. \]

注意我们假设在求 \(f_k\) 时已求出 \(f_{k+1}\)。

是不是感觉很神奇？我们在列式子的时候，明明没有求出 \(f_k\)，但是式子右边却出现了 \(f_k\) 相当于我们也假设了已知 \(f_k\)（？）。但是看了看题解区似乎没人觉得这里有什么奇怪的。总之那个式子恒成立，能用，就用来递推吧。我称之为 “递归推式法”。

聪明的你可能会想，那我们移项——

\[f_{k+1}=f_k-\frac{n}{n-k}, \]
如何呢？可不可以正推？很可惜不行。这个式子理论上是成立的，但是我们不知道边界条件 \(f_0\)。事实上我们想求的就是 \(f_0\) 啊。

Part II

注意：期望花费 = \((1+f_0)\times f_0\div2\) 不成立。

现在考虑怎么求花费的期望。类似地，我们定义 \(g_k\) 表示：已经买到 \(k\) 种邮票，期望还要花的钱。同样考虑倒推：

\[g_k=\frac{k}{n}(g_k+f_k+1)+\frac{n-k}{n}(g_{k+1}+f_{k+1}+1). \]

这里为什么会有 \(f\) 项让我困惑了很久。这样理解：

我们从后往前递推，每次我们记录的是 “从当前” 买到达到目标要花的钱。但是 “当前” 再买一次，要花多少钱和 “当前是第几次购买” 相关，我们不知道 “当前” 确切地要花多少。所以我们不妨设 “当前” 要花 \(1\) 元。
然后我们在递推式中 “弥补”：每次向前推一步，相当于后面的购买每次花费都 \(+1\)。所以就有 \(+f_k\) 和 \(+f_{k+1}\) 的说法了。

把上面的式子分理出 \(g_k\)，就得到了真正的递推式：

\[g_k=\frac{k}{n-k}(f_k+1)+g_{k+1}+f_{k+1}+1. \]

同样地，边界条件是 \(g_n=0\)，\(g_0\) 就是题目要求的终极答案。