基本概念略。
矩阵的运算
矩阵加法、数乘
加法：对于两个 \(n\times m\) 的矩阵 \(A, B\) 定义 \(A + B = C\)，\(C\) 仍为 \(n \times m\)，且 \(c_{i, j} = a_{i, j} + b_{i, j}\)。
数乘：\(B = xA\)，即 \(b_{i, j} = xa_{i, j}\)。
矩阵乘法
定义：对于 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\)，\(m\times p\) 的矩阵 \(B\)，则两者相乘得到 \(n\times p\) 的矩阵 \(C\)，满足：
\[c_{i, j} = \sum_{k = 1}^m a_{i, k}b_{k, j}
\]
性质：结合律、分配律
\(AB = BA\) 在以下几种情况中成立：
- \(A, B\) 中有单位矩阵或零矩阵
- \(A, B\) 均为同阶对角方阵
- \(B = A^{-1}\)
矩阵转置
定义：对于 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\)，其转置矩阵 \(A^T\) 为 \(m\times n\)，且 \(a^T_{i, j} = a_{j, i}\)。
可以理解为按对角线翻转。
满足以下性质：
- \((A^T)^T = A\)
- \((A + B)^T = A^T + B^T\)
- \((xA)^T = xA^T\)
- \((AB)^T = B^TA^T\)
矩阵种类：
- （分块）对角矩阵
- 上下三角矩阵
- 对称、反称矩阵
矩阵的初等行（列）变换
- 倍法变换： 用一个非零的数乘矩阵的某行。
- 消法变换：用一个数乘矩阵的某行后再加到另一行上去。
- 换法变换：交换矩阵两行。
列变换同理。
等价：若矩阵 \(A\) 经过有限次初等变换变为矩阵 \(B\)，则称 \(A, B\) 等价，记作：\(A \eqsim B\)
等价的性质（类似等式）：反身性（\(A \eqsim A\)）、对称性、传递性