前置知识：K-Nim 游戏。
由于白棋和黑棋交错放并且只能向中间走，相邻的两个白黑棋中间的格子数即可看作一堆石子。
问题转换为：有 \(N=n-k\) 个完全相同的物品，\(M=\frac k 2\) 个不同的盒子，把若干个物品放进盒子里，要求每个盒子内物品数量的二进制，每位的和 \(\bmod K=0\)（\(K=d+1\)），求方案数。
考虑每次只往盒子里放 \(2^i\) 个物品，这样子每次放数都只和当前位有关，设 \(f_{i,j}\) 表示考虑 \([i,14]\) 位二进制每位和均为 \(0\)，并且还剩 \(j\) 个物品没放进盒子。为了保证第 \(i\) 位和为 \(0\)，每次至少选择 \(xK\) 个盒子（\(x\ge 0\)），故：
\[f_{i,j-xK\times 2^i}\gets f_{i+1,j}\times \binom M {xK}
\]
最终没选的物品随便插到盒子中间：\(\sum f_{0,i}\times \binom {M+i} i\)。
时间复杂度 \(O(KN\log N)\)。