无穷小比较、等价无穷小替换

无穷小比较

1. \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0\) ， \(\beta\) 比 \(\alpha\) 高阶无穷小。
2. \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty\) ，\(\beta\) 比 \(\alpha\) 低阶无穷小。
3. \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = c \neq 0\) ，\(\beta\) 比 \(\alpha\) 同阶无穷小。
4. \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1\) ，\(\beta\) 比 \(\alpha\) 等价无穷小。
5. \(\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = c \neq 0 , k>0\) ，\(\beta\) 是关于 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小。

定理

\(\beta , \alpha\) 是等价无穷小等价于 \(\beta = \alpha + 0(\alpha)\) 。

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等价无穷小公式( \(x \rightarrow 0\) )

1. \(\sin x \rightarrow x\)、\(\tan x \rightarrow x\)、\(\arcsin x \rightarrow x\)、\(\arctan x \rightarrow x\)
2. \(1 - \cos x \rightarrow \frac{1}{2}x^2\)、\(\cos x - 1 \rightarrow -\frac{1}{2}x^2\)
3. \(\sqrt{1+x} - 1 \rightarrow \frac{1}{2}x\)、\(1 - \sqrt{1+x} \rightarrow -\frac{1}{2}x\)
4. \(\ln (1+x) \rightarrow x\)、\(e^x - 1 \rightarrow x\) 、 \(1 - e^x \rightarrow -x\)
5. \(a^x - 1 \rightarrow x \ln a\)、\(1 - a^x \rightarrow -x \ln a\)

规则

1. 相乘除的因式可替换，加减一般不能替换。
2. 可以对分子或分母单独替换，不必同时替换。