46、非完整系统的通用转向方法解析

非完整系统的通用转向方法解析

在控制理论中，非完整系统的转向问题是一个重要的研究领域。本文将详细介绍几种非完整系统的转向方法，包括最优转向、分段常量输入转向以及含漂移的控制系统分析。

1. 非完整系统的最优转向

我们考虑将形如 $\dot{q} = g_1(q)u_1 + \cdots + g_m(q)u_m$ 的控制系统在 1 秒内从初始状态 $q_0$ 转向最终状态 $q_f$ 的最小二乘最优控制问题。目标是最小化代价函数：
[
\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \vert u(t) \vert^2 dt
]

为了推导最优控制的必要条件，我们引入拉格朗日乘子函数 $p(t) \in \mathbb{R}^n$，将约束条件融入代价函数：
[
J(q, p, u) = \int_{0}^{1} \left{ u^T(t)u(t) - p^T(t) \left( \dot{q} - \sum_{i=1}^{m} g_i(q)u_i \right) \right} dt
]

接着，引入哈密顿函数：
[
H(q, p, u) = \frac{1}{2} u^T u + p^T \sum_{i=1}^{m} g_i(q)u_i
]

通过分部积分和变分法，我们得到最优控制的必要条件：
[
\frac{\partial H}{\partial u} = 0, \quad \dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q}
]

由此可推出最优输入为：
[