C++题解：[NOIP2014]子矩阵
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题目
题解
题目
给出如下定义：
子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如，下面左图中选取第 2 、 4 行和第 2 、 4 、 5 列交叉位置的元素得到一个 2×3 的子矩阵如右图所示。
- 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
- 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务：给定一个 n 行 m 列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个 rr 行 cc 列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。
输入格式
输入第一行包含用空格隔开的四个整数 n,m,r,c ，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的 nn 行，每行包含 m 个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个 n 行 m 列的矩阵。
输出格式
一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
数据范围
对于 50% 的数据， 1≤n≤12 , 1≤m≤12 ，矩阵中的每个元素 1 \le a_{ij} \le 201≤aij≤20 ；
对于 100\%100% 的数据， 1 \le n \le 161≤n≤16 , 1 \le m \le 161≤m≤16 ，矩阵中的每个元素 1 \le a_{ij} \le 1,0001≤aij≤1,000 , 1 \le r \le n,1 \le c \le m1≤r≤n,1≤c≤m 。
样例说明
样例1：
该矩阵中分值最小的 22 行 33 列的子矩阵由原矩阵的第 44 行、第 55 行与第 11 列、第 33 列、第 44 列交叉位置的元素组成，为
6 5 6 7 5 6其分值为: |6-5| + |5-6| + |7-5| + |5-6| + |6-7| + |5-5| + |6-6| =6∣6−5∣+∣5−6∣+∣7−5∣+∣5−6∣+∣6−7∣+∣5−5∣+∣6−6∣=6。
样例2：
该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第 44 行、第 55 行、第 66 行与第 22 列、第 66 列、第 77 列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为
9 7 8 9 8 8 5 8 10输出时每行末尾的多余空格，不影响答案正确性
要求使用「文件输入输出」的方式解题，输入文件为
matrix.in，输出文件为matrix.out样例输入1
5 5 2 3 9 3 3 3 9 9 4 8 7 4 1 7 4 6 6 6 8 5 6 9 7 4 5 6 1样例输出1
6样例输入2
7 7 3 3 7 7 7 6 2 10 5 5 8 8 2 1 6 2 2 9 5 5 6 1 7 7 9 3 6 1 7 8 1 9 1 4 7 8 8 10 5 9 1 1 8 10 1 3 1 5 4 8 6样例输出2
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题解：
知识点：动态规划+二进制枚举子集
分析：
首先这道题目我们可以很容易想到暴力， 如果剪枝得当是可以 AC 的。这道题目比较好的方法是 DP。
当选定的行固定时，问题变成：
给定一个长度为 m 的序列，从中选出一个长度为 c 的子序列。序列中的每个元素均有一个分值，且任意相邻两个被选出的元素，也会产生一个分值。问：如何选择子序列可使分值之和最小。
这是一个经典的序列DP模型：
状态表示：f[i][j]表示所有以第i个数结尾，且长度为j的子序列的分值之和的最小值。
状态计算：以倒数第二个数是哪个数为依据，将f[i][j]所代表的集合分成若干类，则倒数第二个数是第k个数的所有子序列的最小分值是f[k][j - 1] + cost()，其中cost是在序列末尾加上第i个数所产生的分值。
f[i][j]取所有类别的最小分值即可。
其中：
1、cw[i]表示第i列所贡献的上下之间的分值。
2、rw[i][j]表示第i列与第j列所贡献的左右之间的分值。注意题意里说的是先取一个子矩阵，然后是这个子矩阵里相邻的两数的分值。
3、f[i][j]表示当前选到第i列，一共选了j列，的最小分值。所以把 i 这一列加入的时候，需要加上第 i 列上下之间的分值以及 第 i 列和上一列 第 k 列 的左右之间的分值。
读者可以自己模拟一遍，或者用C++输出一下数据。
代码：
#include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstdio> using namespace std; const int N = 20, INF = 1e9; int n, m, r, c; int matrix[N][N]; int f[N][N]; int cw[N], rw[N][N]; int q[N]; int count(int x){ int s = 0; for (int i = 0; i < n; i ++ ) s += x >> i & 1; return s; } int main(){ freopen("matrix.in","r",stdin); freopen("matrix.out","w",stdout); cin >> n >> m >> r >> c; for (int i = 0; i < n; i ++ ) for (int j = 0; j < m; j ++ ) cin >> matrix[i][j]; int res = INF; for (int state = 0; state < 1 << n; state ++ ) if (count(state) == r){ for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ ) if (state >> i & 1) q[j ++ ] = i; for (int i = 0; i < m; i ++ ){ cw[i] = 0; for (int j = 1; j < r; j ++ ) cw[i] += abs(matrix[q[j]][i] - matrix[q[j - 1]][i]); } for (int i = 0; i < m; i ++ ) for (int j = i + 1; j < m; j ++ ){ rw[i][j] = 0; for (int k = 0; k < r; k ++ ) rw[i][j] += abs(matrix[q[k]][i] - matrix[q[k]][j]); } for (int i = 0; i < m; i ++ ){ f[i][1] = cw[i]; for (int j = 2; j <= c; j ++ ){ f[i][j] = INF; for (int k = 0; k < i; k ++ ) f[i][j] = min(f[i][j], f[k][j - 1] + cw[i] + rw[k][i]); } res = min(res, f[i][c]); } } cout << res << endl; return 0; }