上半学期：多元函数微分学
1. 二重极限与累次极限
- 二重极限：\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)\)
- 累次极限：\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0} f(x,y)\)
2. 无穷小的阶
设\(\rho = \| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x_0} \|\)为两点间的距离（二元函数中即\(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\)），若\(f(\boldsymbol{x}) = O(\rho^k)\)，则称\(f\)是\(k\)阶无穷小。
3. 多元函数微分与偏导数
对\(n\)元函数\(u = f(x_1,x_2,\dots,x_n)\)，全微分公式：
4. 方向导数
设\(\vec{l} = (\cos\alpha_1, \cos\alpha_2, \dots, \cos\alpha_n)\)为单位方向向量（\(\alpha_i\)是\(\vec{l}\)与第\(i\)个坐标轴的夹角），则\(f(x_1,\dots,x_n)\)在\(\boldsymbol{x_0}\)处沿\(\vec{l}\)的方向导数为：
5. 梯度（grad）
对数量场\(u=f(x_1,\dots,x_n)\)，在\(\boldsymbol{x_0}\)处的梯度为向量：
6. 高阶偏导数
若二阶混合偏导数连续，则混合偏导与求导顺序无关：
7. 向量值函数的微分
设向量值函数\(\boldsymbol{Y} = f(\boldsymbol{X})\)，即
定义\(f\)对应的雅可比（Jacobi）矩阵为：
则全微分满足：\(d\boldsymbol{Y} = Jf(\boldsymbol{x}) \cdot d\boldsymbol{X}\)。
若\(m=n\)，则\(Jf(\boldsymbol{x})\)的行列式称为雅可比行列式，记作：
8. 复合向量函数的微分（链式法则）
若\(\boldsymbol{u} = g(\boldsymbol{x})\)与\(\boldsymbol{y} = f(\boldsymbol{u})\)均可微，则复合函数的微分满足：
即复合函数的雅可比矩阵等于各层雅可比矩阵的矩阵乘积，也可写作：
9. 拉普拉斯（Laplace）算子
三维拉普拉斯算子定义为：
作用于数量函数时，\(\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\)。
10. 隐函数求导（标量隐函数）
设隐函数方程\(F(u, x_1, \dots, x_n) = 0\)确定了隐函数\(u=u(x_1,\dots,x_n)\)，则：
11. 反函数的微分（向量值）
设\(\boldsymbol{Y} = f(\boldsymbol{X})\)，且存在反函数\(\boldsymbol{X} = f^{-1}(\boldsymbol{Y})\)，若\(Jf(\boldsymbol{x})\)可逆，则反函数的雅可比矩阵满足：
即反函数的雅可比矩阵是原函数雅可比矩阵的逆矩阵。
12. 曲线、曲面的切线与切平面
12.1 显式曲面 \(z=f(x,y)\)
设\(f\)在\((x_0,y_0)\)处可微，则过\((x_0,y_0,z_0)\)（\(z_0=f(x_0,y_0)\)）的：
- 切平面方程：\(z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)\)
- 法向量：\(\vec{n} = \left. \left( \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ -1 \right) \right|_{(x_0,y_0)}\)
- 法线方程：\(\frac{x-x_0}{\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)} = \frac{y-y_0}{\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)} = \frac{z-z_0}{-1}\)
12.2 隐式曲面 \(F(x,y,z)=0\)
过曲面上点\((x_0,y_0,z_0)\)的：
- 切平面方程：\(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0\)
- 法向量：\(\vec{n} = \left. \left( \frac{\partial F}{\partial x},\ \frac{\partial F}{\partial y},\ \frac{\partial F}{\partial z} \right) \right|_{(x_0,y_0,z_0)}\)
- 法线方程：\(\frac{x-x_0}{\dfrac{\partial F}{\partial x}} = \frac{y-y_0}{\dfrac{\partial F}{\partial y}} = \frac{z-z_0}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}\)
12.3 参数曲面
设曲面参数方程为\(\begin{cases} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{cases}\)，记参数点\((u_0,v_0)\)对应曲面上点\(P_0\)，令：
则在\(P_0\)处：
- 切平面方程：\(A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0\)
- 法向量：\(\vec{n} = (A,\ B,\ C)\)
- 法线方程：\(\frac{x-x_0}{A} = \frac{y-y_0}{B} = \frac{z-z_0}{C}\)
12.4 参数曲线
设空间曲线参数方程为\(L: \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}\)，\(t=t_0\)对应点\(P_0(x_0,y_0,z_0)\)，则：
- 切向量：\(\vec{T} = \left( x'(t_0),\ y'(t_0),\ z'(t_0) \right)\)
- 切线方程：\(\frac{x-x_0}{x'(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'(t_0)} = \frac{z-z_0}{z'(t_0)}\)
- 法平面方程：\(x'(t_0)(x-x_0) + y'(t_0)(y-y_0) + z'(t_0)(z-z_0) = 0\)
12.5 两曲面交线
两个空间曲面\(F(x,y,z)=0\)与\(G(x,y,z)=0\)的交线\(\Gamma\)，在点\(P_0\)处：
令
则
- 切向量：\(\vec{T} = (A,\ B,\ C) = \mathrm{grad}\,F \times \mathrm{grad}\,G\)
- 法平面方程：\(A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0\)
13. 多元函数泰勒公式（极简版）
对\(n\)元函数\(y=f(x_1,\dots,x_n)\)，记\(\boldsymbol{X}=(x_1,\dots,x_n)\)，则在\(\boldsymbol{X_0}\)处的一阶泰勒展开（带拉格朗日余项）为：
其中：
- \(Jf(\boldsymbol{X_0}) = \left. \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\ \dots,\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \right|_{\boldsymbol{X_0}}\) 为雅可比矩阵（行向量）
- \(H(\boldsymbol{X_0})\) 为海塞（Hesse）矩阵，是对称矩阵（\(H^T=H\)）：
14. 极值与条件极值
14.1 无条件极值
设\(f\)在\(\boldsymbol{X_0}\)处具有二阶连续偏导数，且\(\boldsymbol{X_0}\)为驻点：
- 若\(H(\boldsymbol{X_0})\)正定，则\(\boldsymbol{X_0}\)是极小值点；
- 若\(H(\boldsymbol{X_0})\)负定，则\(\boldsymbol{X_0}\)是极大值点。
14.2 条件极值（拉格朗日乘数法）
目标函数\(f(x_1,\dots,x_n)\)，约束条件\(\varphi(x_1,\dots,x_n)=0\)。
构造拉格朗日函数：
解方程组
得到的驻点为可能的极值点。
15. 含参积分相关
15.1 常限含参积分
设\(I(y) = \int_a^b f(x,y) dx\)，若\(f\)与\(\partial f/\partial y\)连续，则：
即可在积分号下求导。
15.2 变限含参积分（莱布尼茨公式）
设\(I(y) = \int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} f(x,y) dx\)，则：
下半学期：积分学 + 级数
1. 多重积分
1.1 二重积分
累次积分与重积分的对应：
1.2 三重积分
2. 多重积分的变量代换
2.1 二重积分变量代换
设变换\(\begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \end{cases}\)，则面积元满足：
极坐标代换：\(\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \end{cases}\)，则\(dxdy = \rho \, d\rho d\theta\)。
2.2 三重积分变量代换
设变换\(\begin{cases} x = x(r,s,t) \\ y = y(r,s,t) \\ z = z(r,s,t) \end{cases}\)，则体积元满足：
- 柱坐标代换：\(\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}\)，则\(dxdydz = \rho \, d\rho d\theta dz\)。
- 球坐标代换（极角为\(\theta\)，方位角为\(\varphi\)）：\[\begin{cases} x = r \sin\theta \cos\varphi \\ y = r \sin\theta \sin\varphi \\ z = r \cos\theta \end{cases} \]则\(dxdydz = r^2 \sin\theta \, dr d\theta d\varphi\)。
注：不同教材符号约定可能不同，国内教材常以\(\varphi\)为极角（与z轴夹角），此时雅可比为\(r^2 \sin\varphi\)。
3. 重积分的典型应用计算
3.1 空间曲面面积
设曲面\(z=f(x,y)\)在\(xOy\)平面上的投影区域为\(D_{xy}\)，则曲面面积：
若投影区域上曲面有重合，需切开分段计算。
3.2 物体质心问题
设空间物体\(\Omega\)的密度函数为\(\rho(x,y,z)\)，记：
- 总质量：\(M = \iiint_\Omega \rho \, dV\)
- 静矩：\(M_x = \iiint_\Omega x\rho \, dV,\quad M_y = \iiint_\Omega y\rho \, dV,\quad M_z = \iiint_\Omega z\rho \, dV\)
则质心坐标为：
4. 第一类曲线/曲面积分（对弧长/对面积）
4.1 第一类曲线积分（对弧长）
标量积分，无方向，核心是弧长元素代换。
- 空间参数曲线\(L: \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases},\ t\in[\alpha,\beta]\)，则：\[\int_L f(x,y,z) dl = \int_\alpha^\beta f\big(x(t),y(t),z(t)\big) \cdot \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2} \, dt \]
- 平面曲线\(y=y(x),\ x\in[a,b]\)，则：\[\int_L f(x,y) dl = \int_a^b f\big(x,y(x)\big) \cdot \sqrt{1 + y'(x)^2} \, dx \]
应用：由线密度求曲线质量/质心、求柱面侧面积等。
4.2 第一类曲面积分（对面积）
标量积分，核心是面积元素代换。
-
参数曲面\(\begin{cases} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{cases}\)，投影区域为\(D_{uv}\)，记
\[A = \frac{D(y,z)}{D(u,v)},\quad B = \frac{D(z,x)}{D(u,v)},\quad C = \frac{D(x,y)}{D(u,v)} \]则：
\[\iint_S f(x,y,z) dS = \iint_{D_{uv}} f\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big) \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \, dudv \] -
显式曲面\(z=z(x,y)\)，投影区域为\(D_{xy}\)，则：
\[\iint_S f(x,y,z) dS = \iint_{D_{xy}} f\big(x,y,z(x,y)\big) \cdot \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} dxdy \]
5. 第二类曲线/曲面积分（对坐标）
5.1 第二类曲线积分（对坐标）
向量点乘形式，有方向，\(d\boldsymbol{l} = (dx, dy, dz)\)，向量场\(\boldsymbol{F}(x,y,z) = \big(X(x,y,z),\ Y(x,y,z),\ Z(x,y,z)\big)\)，则：
代入参数方程\(\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases},\ t\in[\alpha,\beta]\)（\(\alpha\)对应起点，\(\beta\)对应终点），得：
5.2 第二类曲面积分（对坐标）
向量场\(\boldsymbol{F}(x,y,z) = \big(X(x,y,z),\ Y(x,y,z),\ Z(x,y,z)\big)\)，则：
- 投影符号规则：以\(dxdy\)为例，曲面法向量与\(z\)轴夹角小于\(\pi/2\)时取正，大于\(\pi/2\)时取负，垂直时为0。
- 参数曲面形式：若曲面由参数\((u,v)\)表示，记\(A=\frac{D(y,z)}{D(u,v)},\ B=\frac{D(z,x)}{D(u,v)},\ C=\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\)，则\[\iint_S \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{S} = \pm \iint_{D_{uv}} (XA + YB + ZC) dudv \]正负号由曲面法向量的方向决定。
计算注意：若投影区域上曲面有重合，需分割计算。
6. 梯度、散度、旋度
哈密顿算子：\(\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x},\ \frac{\partial}{\partial y},\ \frac{\partial}{\partial z} \right)\)
-
梯度：作用于数量场\(u\)，结果为向量
\[\mathrm{grad}\, u = \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y},\ \frac{\partial u}{\partial z} \right) \] -
散度：作用于向量场\(\boldsymbol{F}=(X,Y,Z)\)，结果为标量
\[\mathrm{div}\, \boldsymbol{F} = \nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial X}{\partial x} + \frac{\partial Y}{\partial y} + \frac{\partial Z}{\partial z} \]物理意义：描述某点处向量场向外发散或向内汇聚的强度。
-
旋度：作用于向量场\(\boldsymbol{F}=(X,Y,Z)\)，结果为向量
\[\mathrm{rot}\, \boldsymbol{F} = \nabla \times \boldsymbol{F} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ X & Y & Z \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial Z}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial z},\ \frac{\partial X}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial x},\ \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y} \right)\]二维平面向量场的旋度可简化为标量：\(\mathrm{rot}\, \boldsymbol{F} = \frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y}\)。
物理意义：描述某点周围向量场的旋转趋势。
7. 格林（Green）公式
设\(D\)是平面有界闭区域，其边界\(C=\partial D\)取正向（沿边界行走时，区域\(D\)总在左侧），向量场\(\boldsymbol{F}=(X(x,y), Y(x,y))\)，则：
物理意义：闭合曲线的环流量等于区域内部所有点旋度的总和。
两大典型应用：
- 补线法计算非闭合曲线积分：若曲线\(C\)不闭合，可补线\(C^*\)使\(C\cup C^*\)闭合，用格林公式计算闭合积分，再减去补线上的积分。
- 判断积分与路径无关：在单连通区域\(D\)内，若\(\frac{\partial X}{\partial y} = \frac{\partial Y}{\partial x}\)对所有\((x,y)\in D\)成立，则曲线积分与路径无关，可更换为更简单的路径，或寻找原函数\(u(x,y)\)使得\(du=Xdx+Ydy\)，此时积分结果为\(u(B)-u(A)\)。
平面区域面积公式：\(S = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} xdy - ydx\)。
8. 高斯（Gauss）公式
设\(\Omega\)是空间有界闭区域，其边界\(\Sigma\)取外侧曲面，向量场\(\boldsymbol{F}=(X,Y,Z)\)，则：
即
物理意义：流出闭合曲面的总流量等于区域内部所有“源”的强度之和。
解题常用“补面法”：对非闭合曲面，补面使其闭合后用高斯公式，再减去补面上的积分。
9. 斯托克斯（Stokes）公式
可视为空间版本的格林公式。
设\(S\)是空间光滑曲面，\(\Gamma\)是\(S\)的边界曲线，\(\Gamma\)的方向与\(S\)的法向量符合右手螺旋定则（沿\(\Gamma\)前进时，曲面\(S\)在左侧），向量场\(\boldsymbol{F}=(X,Y,Z)\)，则：
展开为坐标形式：
物理意义：闭合曲线的环流量等于穿过内部曲面的旋度通量总和。
应用技巧：若\(\mathrm{rot}\, \boldsymbol{F} = \boldsymbol{0}\)（无旋场），则空间曲线积分与路径无关，可更换路径或寻找原函数计算。
10. 常数项级数
10.1 正项级数判别法
-
比较判别法（极限形式）
设\(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = L\)：- 若\(0 < L < +\infty\)，则\(\sum u_n\)与\(\sum v_n\)同敛散；
- 若\(L = 0\)，则\(\sum v_n\)收敛\(\implies \sum u_n\)收敛；
- 若\(L = +\infty\)，则\(\sum v_n\)发散\(\implies \sum u_n\)发散。
-
比值判别法（达朗贝尔）
设\(\lim\limits_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho\)：- \(\rho < 1\)时，级数收敛；
- \(\rho > 1\)时，级数发散；
- \(\rho = 1\)时，判别法失效。
-
根值判别法（柯西）
设\(\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho\)：- \(\rho < 1\)时，级数收敛；
- \(\rho > 1\)时，级数发散；
- \(\rho = 1\)时，判别法失效。
-
Raabe（拉贝）判别法
若存在\(\rho>1\)，使得当\(n\)充分大时，\(n\left( \frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 \right) \ge \rho\)，则\(\sum u_n\)收敛；
若当\(n\)充分大时，\(n\left( \frac{u_n}{u_{n+1}} - 1 \right) \le 1\)，则\(\sum u_n\)发散。 -
积分判别法
设\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)上非负、单调递减，\(u_n = f(n)\)，则\(\sum_{n=1}^\infty u_n\)与\(\int_1^{+\infty} f(x)dx\)同敛散。
10.2 交错级数与一般项级数
-
莱布尼茨（Leibniz）判别法
若交错级数\(\sum (-1)^n u_n\)满足：\(\{u_n\}\)单调递减，且\(\lim\limits_{n\to\infty} u_n = 0\)，则级数收敛（称为莱布尼茨级数）。 -
绝对收敛与条件收敛
- 绝对收敛的级数满足交换律，重排后和不变；
- 条件收敛的级数不满足交换律，可通过重排得到任意和。
-
阿贝尔（Abel）判别法
若\(\sum u_n\)收敛，数列\(\{v_n\}\)单调有界，则\(\sum u_n v_n\)收敛。 -
狄利克雷（Dirichlet）判别法
若\(\sum u_n\)的部分和数列有界，数列\(\{v_n\}\)单调且\(\lim\limits_{n\to\infty} v_n = 0\)，则\(\sum u_n v_n\)收敛。莱布尼茨级数是狄利克雷判别法的特例。
11. 函数项级数基础
11.1 收敛域与和函数
设\(u_n(x)\)是关于\(x\)的函数，称\(\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\)为函数项级数。
- 收敛域：所有使级数收敛的\(x\)构成的集合\(I = \left\{ x \,\bigg|\, \sum_{n=1}^\infty u_n(x) \text{ 收敛} \right\}\)。
- 和函数：\(S(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x),\quad \forall x\in I\)。
11.2 一致收敛
定义：若对任意\(\varepsilon>0\)，存在与\(x\)无关的正整数\(N\)，使得当\(n>N\)时，对所有\(x\in I\)，都有
则称级数\(\sum u_n(x)\)在\(I\)上一致收敛于\(S(x)\)。
狄利克雷判别法、阿贝尔判别法也可用于判断函数项级数的一致收敛性。
只有一致收敛的函数项级数，才能保证和函数连续、可逐项积分、逐项微分。
12. 幂级数
幂级数是特殊的函数项级数，标准形式为\(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\)（一般形式为\(\sum a_n (x-x_0)^n\)）。
12.1 收敛半径
存在收敛半径\(\rho\)，使得：
- 当\(|x| < \rho\)时，级数绝对收敛；
- 当\(|x| > \rho\)时，级数发散。
收敛半径计算公式：
注：收敛半径内不一定内闭一致收敛；收敛域需单独判断端点\(x=\pm\rho\)处的敛散性。
函数的泰勒级数不一定收敛到原函数本身。
13. 傅里叶级数
13.1 三角形式傅里叶级数
形如\(\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right)\)的级数，若收敛则其和函数是以\(2\pi\)为周期的函数。
内积与正交性：对\(f,g\in C[-\pi,\pi]\)，定义内积
若\((f,g)=0\)，称\(f\)与\(g\)正交。三角函数系\(\{1,\cos x,\sin x,\cos2x,\sin2x,\dots\}\)在\([-\pi,\pi]\)上正交。
对\(f\in R[-\pi,\pi]\)，其三角形式傅里叶级数为：
其中傅里叶系数为：
- 若\(f\)为奇函数，则\(a_n=0\)，级数为正弦级数：\(f(x) \sim \sum b_n \sin nx\)；
- 若\(f\)为偶函数，则\(b_n=0\)，级数为余弦级数：\(f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum a_n \cos nx\)。
13.2 任意周期的傅里叶级数
对周期为\(2l\)的函数\(f(x)\)，作变量替换\(t = \frac{\pi x}{l}\)，令\(\varphi(t) = f\left( \frac{lt}{\pi} \right) = f(x)\)，则\(\varphi(t)\)是周期为\(2\pi\)的函数。将\(\varphi\)展开为傅里叶级数后代回，得：
其中
13.3 黎曼-勒贝格（Riemann-Lebesgue）引理
若\(f\)在\([a,b]\)上可积，则：
推论：可积函数的傅里叶系数满足\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0\)，\(\lim\limits_{n\to\infty} b_n = 0\)。
13.4 狄利克雷收敛定理
设\(f(x)\)是周期为\(2\pi\)的周期函数，且在一个周期内分段光滑（或分段单调且仅有有限个第一类间断点），则\(f(x)\)的傅里叶级数在任意点\(x\)处收敛于\(f(x)\)在该点左右极限的平均值：
- 在\(f\)的连续点处，级数收敛于\(f(x)\)本身。
13.5 贝塞尔不等式与帕塞瓦尔等式
-
贝塞尔（Bessel）不等式
若\(f(x)\)在\([-\pi,\pi]\)上可积，则其傅里叶系数满足：\[\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) \le \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) dx \] -
帕塞瓦尔（Parseval）等式（封闭性公式）
若\(f(x)\)在\([-\pi,\pi]\)上平方可积，则贝塞尔不等式取等号：\[\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) dx \]