喵喵喵 XII

计算常数的公式。

\(\pi\)

可以先看这里。

前置阅读：喵喵喵 XI

对于所有的 \(h(d)=1\)，都有正整数 \(A,B\) 和整数 \(C=-\sqrt[3]{j(\frac{1+\sqrt{d}}2)}\)，满足：

\[\frac1\pi=\frac{12}{C\sqrt{C}}\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{2k}k\binom{3k}k\binom{6k}{3k}\frac{-dAk+B}{(-C)^{3k}} \]

\(d=-163\) 的情况就是经典的 Chudnovsky 公式。具体数据见下表：

\(d\)	\(A\)	\(B\)	\(C\)
\(-163\)	\(3344418\)	\(13591409\)	\(640320\)
\(-67\)	\(3906\)	\(10177\)	\(5280\)
\(-43\)	\(378\)	\(789\)	\(960\)
\(-19\)	\(18\)	\(25\)	\(96\)

剩下的 \(d\) 不适合进行计算。

\(h(d)=2\) 的情况里面比较著名的有 Ramanujan 公式：

\[\frac1\pi=\frac{2\sqrt2}{99}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(4k)!}{k!^4}\frac{58\cdot 455k+1103}{396^{4k}} \]