第 4 次作业

习题 4.5

式 $4.25$：

\[sin\theta\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}) + [l(l+1)sin^2\theta-m^2]\Theta=0 \]

代入 $l=m=0$ 得：

\[sin\theta\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}) = 0 \]

\[sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta} = sin\theta(\frac{d(Aln[tan(\theta/2))}{d\theta}) = \frac{1}{2}sin\theta\frac{A}{sin{\frac{\theta}{2}}cos{\frac{\theta}{2}}} = A \]

所以

\[sin\theta\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}) = sin\theta\frac{d}{d\theta}(A) = 0 \]

得证。

由于 $\Theta = Aln[tan(\theta/2)]$ 在 $\theta = 0$ 和 $\theta = \pi$ 处发散，因此这个解是不合理的。

习题 2.18

将波函数 $\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \frac{\hbar k^2}{2m}t)}$ 代入到几率流公式 $J = \frac{i\hbar}{2m}(\Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} - \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x})$ 中，得：

\[J(x,t) = kA^2\hbar/m \]

当 $J(x,t) > 0$ 时，即 $k>0$ 时，几率流方向为 $x$ 轴正方向。

当 $J(x,t) < 0$ 时，即 $k<0$ 时，几率流方向为 $x$ 轴负方向。

习题 3.2

(a)

要求函数 $f(x)$ 在希尔伯特空间中即要求 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上平方可积。

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2v dx \]

$1°$ 当 $v ≤ -\frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处不可积。

$2°$ 当 $v > -\frac{1}{2}$ 时，$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \frac{1}{2v+1}x^{2v+1}|^1_0 = \frac{1}{2v+1}$ 可积。

所以 $f(x)$ 平方可积的条件是 $v>-\frac{1}{2}$

(b)

$v=\frac{1}{2}$ 满足 $v>-\frac{1}{2}$ 平方可积的条件，故此时 $f(x)$ 在希尔伯特空间中。

\[xf(x) = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} \]

相当于指数 $v = \frac{3}{2}$，因此 $xf(x)$ 平方可积，在希尔伯特空间中。

\[\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \]

相当于指数 $v = -\frac{1}{2}$ 不满足 $v ≥ -\frac{1}{2}$ 的条件，因此不在希尔伯特空间中。

习题 3.4

(a)

设 $\hat{Q_1}$ 和 $\hat{Q_2}$ 是两个厄米算符，$\hat{Q} = \hat{Q_1} + \hat{Q_2}$

\[<f|\hat{Q}g> = <f|(\hat{Q_1} + \hat{Q_2})g> = <f|\hat{Q_1}g> + <f|\hat{Q_2}g> \]

由于 $<f|\hat{Q_1}g> = <\hat{Q_1}f|g>$，$<f|\hat{Q_2}g> = <\hat{Q_2}f|g>$

\[<f|\hat{Q}g> = <\hat{Q_1}f|g> + <\hat{Q_2}f|g> = <(\hat{Q_1}+\hat{Q_2})f|g> = <\hat{Q}f|g> \]

因此 $\hat{Q}$ 也是厄米算符，得证。

(b)

$\alpha\hat{Q}$ 是厄米的要求 $<f|\alpha\hat{Q}g> = <\alpha\hat{Q}f|g>$，即 $\alpha<f|\hat{Q}g> = \alpha^*<\hat{Q}f|g>$

由 $\hat{Q}$ 是厄米算符可以得到 $<f|\hat{Q}g> = <\hat{Q}f|g>$，则需满足 $\alpha = \alpha^*$

所以只有当 $\alpha$ 是实数的时候才满足 $\alpha\hat{Q}$ 是厄米算符的条件。

(c)

设 $\hat{Q_1}$ 和 $\hat{Q_2}$ 是两个厄米算符，$\hat{Q} = \hat{Q_1}\hat{Q_2}$

\[<f|\hat{Q}g> = <f|\hat{Q_1}\hat{Q_2}g> = <\hat{Q_2}\hat{Q_1}f|g> \]

要使 $<f|\hat{Q}g> = <\hat{Q}f|g>$，需要 $\hat{Q_1}\hat{Q_2} = \hat{Q_2}\hat{Q_1}$，即满足：

\[[\hat{Q_1}, \hat{Q_2}] = 0 \]

(d)

$x$ 是实数，因此 $x = x^*$，$<f|xg> = <f|x^*g> = <xf|g>$ ，$x$ 是厄米算符。

\[<f|\hat{H}g> = \int_{-\infty}^{+\infty} -f^*(\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x))g dx \]

由于 $V(x)$ 是实数，则 $V(x)$ 是厄米算符。

剩余部分为：$$-\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \frac{d^2 g}{dx^2} dx$$

\[= -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* d(\frac{dg}{dx}) = -\frac{\hbar^2}{2m}f^*\frac{dg}{dx}|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{df^*}{dx}\frac{dg}{dx}dx \]

由于 $f, g$ 的平方可积性，其中第一项为 $0$，可得：

\[-\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \frac{d^2 g}{dx^2} dx = \frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{df^*}{dx}\frac{dg}{dx}dx \]

利用上述分部积分法，再做一次，可得：

\[-\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \frac{d^2 g}{dx^2} dx = -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^2f^*}{dx^2}gdx \]

即 $<f|\frac{d^2}{dx^2}g> = <\frac{d^2}{dx^2}f|g>$，所以 $\frac{d^2}{dx^2}$ 是厄米算符。

由（b）问可知，$-\frac{\hbar}{2m}$（实数）与厄米算符 $\frac{d^2}{dx^2}$ 的乘积 $-\frac{\hbar}{2m} \frac{d^2}{dx^2}$ 也是厄米算符。

由（a）问可知，两个厄米算符 $-\frac{\hbar}{2m} \frac{d^2}{dx^2}$ 和 $V(x)$ 的和是厄米算符，即 $\hat{H}$ 是厄米算符。得证。