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Problem

在长为 $ a $ 的线段上独立地选取 $ n $ 个点（$ n \geq 2 $），记相距最远的两点的距离为 $ X $，求 $ E(X) $。

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方法一：定义求解

记 $ A $ 为 $ X = t \(，\) B $ 为剩余 $ n-2 $ 个点在最远的两点间，则有

\[P( A | B ) = \frac{a-t}{a} \hspace{0.3cm} P( B ) = { ( \frac{ t }{ a } )}^{n-2} \\\begin{aligned} P ( X = t ) &= P( A )= P( A|B ) · P( B ) \\ &= \frac{a-t}{a} · { ( \frac{ t }{ a } )}^{n-2} \\ &= \frac{ (a-t)·t^{n-2} }{ a^{n-1} } \end{aligned} \\ \begin{aligned} E( X ) &= \int_{0}^{a} P( X=t ) dt \\&= \int_{0}^{a} ( {\frac{ (a-t)·t^{n-2} }{ a^{n-1} } } ) dt \end{aligned} \]

因为

\[\int_{0}^{a} ( {\frac{ (a-t)·t^{n-2} }{ a^{n-1} } } ) dt \\ \begin{aligned}( { (a-t)·t^{n-1} } )' &= -t^{n-1} + (a-t)(n-1)·t^{n-2} \\( \frac{ (a-t)·t^{n-1} }{n-1} )' &= \frac{-1}{n-1} · t^{n-1} + (a-t)·t^{n-2} \\\int_{0}^{a} ( \frac{ (a-t)·t^{n-1} }{n-1} )' d t &=\int_{0}^{a} (\frac{-1}{n-1} · t^{n-1} ) d t + \int_{0}^{a} (a-t)·t^{n-2} d t\end{aligned} \]

所以

\[\int_{0}^{a} (a-t)·t^{n-2} d t = { \frac{a^n}{n·(n-1)} } \\E(X)=\frac{a}{n·(n-1)} \]

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方法二：示性函数（之后补完 咕咕咕 ）