2017年的巴黎春天来得比往年晚。四月了塞纳河两岸的梧桐树才开始冒出极小的芽点那种绿色淡得像水彩在纸面上洇开后的第一层底色。悦儿住在大学城一间不到十二平米的宿舍里房间里有一张床、一张书桌、一个塞满了书的小书架。桌面的正中间放着一台旧笔记本电脑键盘上的字母E被磨掉了大半只剩一个模糊的灰色凹痕。她那时候刚从建筑学院回到数学系半年多硕士阶段的课程已经结束正在写一篇关于调和分析与分形几何之间关系的报告。报告的题目很长是导师帮她拟的大意是傅里叶变换与豪斯多夫维数在某些奇异集合上的相互作用——她每天面对着那行标题打字的时候觉得像是背着别人的姓氏在走路不太踏实但也找不到更合适的词来替代它。那天晚上的巴黎下着一场密密的细雨。雨丝斜着打在窗玻璃上留下一些歪斜的细线像有人在窗外用极细的笔不停地画着平行线。悦儿坐在桌前笔记本电脑屏幕的蓝光照亮她的脸。她写完了一段关于科赫曲线维数计算的推导有点累了就点开了一个她偶尔会浏览的数学论坛。论坛的界面很朴素灰白色的背景上排列着最新的帖子标题。大部分帖子她扫一眼标题就不点了——要么太浅要么太深要么讨论的方向跟她正在想的事情无关。她往下翻了翻在第三页的底部看到了一个帖子标题是分形维数在量化交易中的一种应用猜想。她停了一下。分形维数和量化交易是两个她平时分别遇到过但从未并列出现过的词。她点开了那个帖子。发帖人的ID是一串字母和数字的组合没有头像。帖子的正文大约两千字分成了五个小段。第一段概述了分形维数是什么——作者提到豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数的区别用了一句很简洁的话来定义常规维度告诉我们一个集合占据了多少空间分形维数告诉我们一个集合填满空间的方式有多复杂。第二段开始转到金融市场的时间序列上作者提出了一个猜想金融价格的变化曲线可能具有分形维数在某个区间内的波动而这种波动的幅度跟市场的风险偏好有关。第三段和第四段是更详细的论证最后一段是一个开放的邀请有没有人对分形维数在非静态系统中的行为有研究我想讨论一下。悦儿把帖子读了一遍然后从头开始又读了一遍。不是因为她被说服了——那个猜想还有很大的漏洞第三段的某个推论在数学上站不住脚。但让她停下来的是作者提问的方式——他不是在展示一个已经做好的东西他是在伸出一个方向的线头。那个线头本身是歪的没有直达任何地方但它指向的方向让她觉得有趣。一个做量化交易的人在关注分形维数不是因为那个东西在他的行业里已经被用烂了是因为他看到了某个尚未被量化的模式。她在帖子的回复栏里打了一段话大意是对第三段那个推论提出了一个反例。她顺手写了一个简单的构造——用一组具有特定自相似比的时间序列证明那种序列的分形维数在一个区间内变化而作者在第三段中假设的那个稳定窗口实际上是不存在的。她花了大约二十多分钟写那段回复写完之后检查了一遍没有润色直接点了发送。第二天早上她收到了一封新邮件。发件人的地址是一个她没有见过的域名后缀是一家她不知道名字的科技公司。邮件的主题是她回复帖子的标题正文是您好我是那个帖子的作者。我想接着您提出的反例继续追问一下。如果您不介意的话我想跟您讨论一下那个构造的时间尺度问题。署名是墨衍。悦儿在吃早饭的时候读完了那封邮件。她嚼着一片干面包看着屏幕上那段关于时间尺度问题的描述。作者说他在那个反例的基础上做了一些数值测试发现当时间尺度被压缩到一个特定阈值以下时那个不存在的稳定窗口又出现了。他想问她这个现象是反例本身的局限还是分形维数在实际应用中天然具有一个截止尺度她放下面包给那个邮箱回了信。她先简短地解释了那个反例的构造只适用在无穷小的极限情形中所以在有限的样本尺度下当然会出现边界效应。然后她顺手写了一段关于豪斯多夫维数在实际测量中的常见误解——人们经常用一个有限样本去估计一个无穷极限的量然后得出一个精确到小数点后两三位的结果但那个结果其实只反映了样本的尺度而不反映集合本身的真实维数。她发完之后没多想继续吃完了那片面包。但墨衍又回了。这次比上一封长一些大约四百字。他说他以前没有从这个角度想过测量尺度和实际维数之间的关系他在交易中用的那些维数估计可能一直在测量的是样本窗口的大小而不是市场的真实复杂性。他问她的专业方向是什么也告诉了她自己在量化之外还在自学调和分析的基础教材。悦儿看了那封邮件之后没有立刻回复。她坐在书桌前看着屏幕上那四百多字。这个人不是随便问一个问题的普通论坛用户。他在认真读她的回复在基于她的回复重新调整他自己的理解框架。而且他在自学调和分析。那是一种大多数数学本科生都未必会主动接触的领域一个做量化交易的人自己去翻那类教材意味着他对数学的兴趣不是工具性的——他纯粹是想知道那些东西本身长什么样。她当天晚上才回了一封长一些的邮件。她介绍了自己的背景——在北大从地学转到数学现在巴黎读硕士正在写调和分析与分形几何交叉方向的报告。她说她的导师是让·勒鲁瓦一个专门做几何测度论的老教授。她说如果他想继续讨论分形维数在非静态系统中的行为可以接着往下聊。那封邮件成了他们之间更频繁的通信的起点。墨衍的回复通常不长总是围绕一个具体的技术点展开偶尔在技术讨论的间隙嵌进去一两句跟数学无关的话——巴黎最近天气怎么样或者你写报告的时候一般用什么编辑器。悦儿回复他的时候也会偶尔在结尾附带一句类似的日常问话。他们的通信频率从三五天一封变成了一两天一封从一两天一封有时变成了一天两封。那些邮件的内容大部分是关于分形维数、时间序列、豪斯多夫维数在动态系统中的推广但每一封邮件的最末尾总有一两行不是数学的内容被放在一个微缩的段落里像一段被藏在长句末尾的小分句。五月初的一个晚上悦儿在回复中详细解释了科赫曲线的豪斯多夫维数计算。她写道科赫曲线的构造是把一条线段分成三段中间那段替换成一个向外凸出的等边三角形的两条边。每一步都把总长度乘以4/3但维度不是因为这个乘法才变成非整数的——维度来源于覆盖数随尺度的衰减速度。log₃4约等于1.2619这个数介于1和2之间代表一维的线在无限折叠后获得了一部分二维空间的填充能力。她写完之后想了一下在末尾附了一句话我上一封邮件里说到测量尺度的时候其实就是在说这个——如果你用有限步的科赫曲线去估算它的维数你得到的值会随步数变化而漂移。真实的维数只在无限步的极限中才能被精确捕获。墨衍的回信在第二天早晨出现在她的邮箱里。他开头说我昨天晚上用你讲的科赫曲线构造做了一个数值实验。我用不同步数的图形去估算维数确实得到了漂移。漂移的方向是单调递减的——从有限步的维数向无限维数收敛。这个现象让我想到交易中的回撤衰减过程——当回撤区间从有限窗口向无限历史窗口扩展时回撤的统计特征也会收敛到一个稳定值。可能这两种收敛是同一个数学结构的两个侧面。悦儿看到同一个数学结构的两个侧面这个说法的时候把邮件往上翻了一点重新看了那行字一遍。她想起自己花了很久才学会的一件事情——不同的领域里那些看起来各不相干的现象有时候共享同一种底层结构。她用了很长时间才在挂谷猜想和建筑平面图之间看到那种共享结构。这个人做量化交易的人只通过几封关于分形维数的邮件就在交易回撤和科赫曲线收敛之间画出了一条线。她后来把那封邮件保存了下来放在一个叫外部通信的文件夹里。那封邮件的日期是2017年5月4日。她当时没有意识到它是一个长线的起点——她只是觉得那个人的视角跟她在数学系接触的大部分人不太一样看问题的习惯也更接近她自己用的那种从结构而不是从结果出发的方式。他们接着聊从分形维数聊到了傅里叶分析从傅里叶分析聊到了测度论的某个细节。夏天到来的时候他们的通信已经积累了将近一百封。每一封的长度不等短的不到五十个字长的超过两页纸。但所有的邮件都共享同一种对话节奏——一个话题到了结尾的时候末尾总会有一个新的线头被递出来像在墙上钉了一颗新的钉子等着下一封信来把线挂上去。七月的某天悦儿坐在宿舍的书桌前窗外巴黎的梧桐树已经长满了叶子浓密的树冠在下午的阳光中投下一大片阴影。她正在写一篇新的回复关于傅里叶变换在某种奇异测度上的表现特征。写到一半的时候她停下来把手从键盘上拿开看着屏幕上那个正在跳动的光标。她注意到一件事——她在跟这个人通信的时候经常会在写完一个段落后又额外多写一两段加一些她原本没打算写的内容。那些额外段落通常出现在邮件的末尾像是被某种引力从更深的地方拉出来的。她自己不能完全解释那些段落的内容来源。它们像是她脑子里一个平时不太说话的部分趁着她在键盘上打字的空隙探出了头。她的回复发了出去。然后是下一封下一封。那些邮件在她和他之间来回了大约十几轮。她渐渐注意到一个模式——他每次回复她的时候都会在结尾引入一个她没想到的角度像是把他那边的某一束光打在她递过去的问题的侧面上让那个问题的阴影方向变了。她也在做同样的事情只不过方式不同——她从他递过来的那些交易数据结构和市场状态描述中提取出数学的轮廓然后用她这边的几何语言重新绘制那个轮廓的形状。两种方向在不断交换、不断重叠、不断修正彼此的位置。那一年秋天她正式把挂谷猜想定为了自己的研究方向。她在导师勒鲁瓦的办公室里告诉他这个决定的时候勒鲁瓦说那你将需要很多时间。悦儿说我知道。她回到宿舍之后打开电脑在给墨衍的信中提到了这件事我今天跟导师说定了研究方向。挂谷猜想。可能要花很长时间。墨衍的信在第二天来了。他的回复比她预期的短只有两段。第一段是挂谷猜想是不是那个关于一根针在三维空间中旋转的问题第二段是如果我没有理解错那个问题的核心是方向和空间之间的关系。你在那个关系上投入时间我觉得是合理的。悦儿看到合理这个词的时候在屏幕前坐了一会儿。不是因为她需要合理的确认是因为他用了一种很中性的、不赞美也不鼓励的方式来陈述他的判断——我觉得是合理的。那个说法像一段不需要任何修饰的陈述句不提供额外的情绪价值只是表明他理解了她将要投入的是方向的关系分析。她从那个简洁的陈述里读出了比他可能意识到的更多的内容——他理解她的选择不是因为他对挂谷猜想有任何先入为主的了解是因为她前面跟他说过的那些关于方向和空间的看法已经在信中多次出现过了。他只是在阅读了她写过的东西之后根据她的路径做出了一个判断。那个判断本身就是一个回应——证明他一直在认真读她发出去的那些字。他们继续通信。2017年过完了2018年来临。邮件的总数在某个时候悄悄越过了三百封。悦儿没有去数过但她的收件箱里那个外部通信的文件夹被自动排到了靠前的位置因为它的活跃度最高。她没有想过这个通信会持续多久。她只是在每次收到新邮件的时候打开它读完然后在当天或者第二天写好回复发出去。那种节奏像心跳一样自然不需要思考就维持着。多年以后她回头去看那个文件夹里的第一封邮件的时候发现正文只有不到一百字。那封信是她回复墨衍最初那个帖子后次日发来的第一封信主题是追问关于反例的时间尺度问题署名是墨衍两个字。她把那个日期记了下来但没有告诉任何人。那只是一个日期像一条直线的起点在画那条线的时候看不出它最终会延伸多长但如果把整条线收拢起来看它的起点跟终点之间隔着无数个中间点每一个中间点都是一个新的方向被嵌进同一个路径里的位置。咸。感也。柔上而刚下二气感应以相与。两个原本不会相交的方向在一封由数学论坛的帖子触发的邮件中交汇了。那个交汇在当时看起来微不足道——只是一次关于分形维数的讨论只是一封不到一百字的回复只是一个ID陌生的名字。但方向在交汇之后发生了变化就像两根相邻的线在交叉点上改变了各自的延伸角度从此以新的方式继续向前伸展。她后来在任何场合被问起你是什么时候开始跟他通信的时她都说2017年春天。有人追问具体什么时候她补充说巴黎梧桐树长叶子的时候。其实她记得更清楚——是四月十二号。因为那天她在回复邮件之前先在本子上记了一个日期。她不知道为什么记了那个日期但她记了。在文件夹最底部那些旧邮件的发件时间戳中2017年4月12日那一条的读取状态被标记为已读。它读了很久。十年后她的手机里那条日期的数字还会在某些时刻浮上来不发出声音不提供注释只是安静地存在着。像一根线已经延伸了十年起点在2017年春天的巴黎终点此刻还在向前伸着。线的两端都在光里。