做过几道分部积分题的人十有八九都遇到过这种情况公式 \(\int u,dv uv - \int v,du\) 背得比自己的名字还熟可面对一道 \(\int x^2 e^x dx\)先选谁当 \(u\)、把谁塞到 \(d\) 后面得纠结半天好不容易选定写到第二步发现积分比原来还长只能撕掉重来。这篇文章把分部积分法的两条核心路径彻底讲透——公式法适合一步步理解结构、练基本功表格法适合多项式乘指数、三角这类需要连续降次的题堪称高数刷题里的最强草稿纸。无论你是期末突击、考研复习还是自学微积分补课把这两套打法吃透遇到分部积分题就能直接对标出招不再靠猜。我从教辅答疑到考研陪跑批过几千道分部积分题发现大家的问题其实非常集中不会选 \(u\)、符号乱、多重积分写着写着自己就晕了。所以这篇文章不只讲“方法长什么样”更重要的是讲清楚“为什么这么做”“什么时候用哪种”“做错了怎么排查”再配上可以直接照着抄的例题步骤。你看完可以先做几道简单题找手感再拿综合性题目练手基本就能把分部积分从“玄学”变成“肌肉记忆”。1. 分部积分为什么总翻车先搞懂公式在干嘛1.1 公式是乘法求导法则的“倒放”很多人只背结论不知道分部积分公式是怎么来的所以一碰到变形题就发懵。其实它就来源于初中就会的乘法求导法则。设两个函数 \(u(x)\) 和 \(v(x)\)由求导法则[ (uv) uv uv ]把其中一项移过去[ uv (uv) - uv ]两边对 \(x\) 积分[ \int uv,dx uv - \int uv,dx ]因为 \(dv vdx\)\(du udx\)于是简写为[ \int u,dv uv - \int v,du ]我在课上总跟学生讲这个公式的本质就是“把两个函数相乘的积分转化成一个相乘项和一个新积分”。你损失了原来的 \(\int u,dv\)换来了一个 \(uv\) 和 \(\int v,du\)。合不合算全看你选的 \(u\) 和 \(v\) 是不是让后面的新积分更好做。1.2 核心矛盾两个函数相乘怎么“分家”有的同学把分部积分当成一个固定套路上来就套公式结果越积越乱。真正要解决的是两个问题第一谁去当 \(u\)谁去当 \(dv\)第二这一步做完以后新积分是不是比原来简单如果 \(dv\) 选得不好比如 \(\int x^2 e^x dx\) 里你把 \(e^x\) 当 \(u\)把 \(x^2 dx\) 当 \(dv\)那么 \(v x^3/3\)代入以后会得到一个 \(x^3 e^x\) 的积分次数不降反升这就是典型的“方向反了”。所以选 \(u\) 的标准不是“哪个好看选哪个”而是看哪个函数求导后会“变简单”比如 \(\ln x\) 求导变成 \(\frac{1}{x}\)多项式求导次数降低而 \(e^x\) 求导还是 \(e^x\)\(\sin x\) 求导虽然在 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 之间循环但并没有变得“更简单”。换句话说把“求导后变简单”的函数优先设为 \(u\)把“积分后不变形、好处理”的函数放进 \(dv\)成功率会高很多。这个思想贯穿公式法和表格法后面所有步骤都是在为这两条标准服务。2. 公式法按部就班把分部积分做对2.1 标准四步流程公式法最稳的写法是永远按四步走选确定谁当 \(u\)谁当 \(dv\)即谁进到 \(d\) 后面。求求 \(du\)并求 \(v \int dv\)。代代入公式 \(\int u,dv uv - \int v,du\)。算计算新的积分 \(\int v,du\)必要时重复分部。听起来简单但实际操作里有大量细节。比如第2步求 \(v\) 时很多人会纠结要不要加常数 \(C\)。我的建议是不定积分里这一步不用加 \(C\)因为 \(C\) 最后会被吸收到结果那个“总常数”里。考试时加不加都无所谓但加上反而容易让式子变乱。2.2 选 \(u\) 的“反对幂指三”口诀选 \(u\) 这件事高数前辈们早就总结出了口诀我建议直接背下来反三角函数 对数函数 幂函数 指数函数 三角函数也就是遇到两个函数相乘时优先级靠前的优先当 \(u\)。比如 \(\int x^2 \ln x dx\)\(\ln x\) 是对数函数优先级比幂函数高所以 \(u \ln x\)\(dv x^2 dx\)。再比如 \(\int x \arctan x dx\)\(\arctan x\) 是反三角函数优先级最高所以 \(u \arctan x\)。为什么这么排还是回到“求导后是否变简单”反三角函数求导变有理分式形式简化对数函数求导变成 \(\frac{1}{x}\)形式简化幂函数求导后次数降低一次比一次简单指数函数和三角函数求导后形式不变或只在几个相似形式间循环不产生“降级”效果。所以你只要把“求导后越来越简单”的函数放在 \(u\) 上让 \(dv\) 专心地去积分这就相当于把复杂积分慢慢“啃”成简单积分。不过口诀也有例外比如 \(\int x e^{x^2} dx\)按口诀 \(u x\)、\(dv e^{x^2}dx\)但 \(\int e^{x^2}dx\) 根本积不出来。这种题正确做法是先凑微分 \(\int x e^{x^2}dx \frac{1}{2}e^{x^2}C\)。所以拿到题目先别急着套分部先看有没有更简单的换元路径。2.3 三个经典示例照着写就能上手第一个例子最基础也最典型的 \(\int x e^x dx\)按口诀\(x\) 是幂函数\(e^x\) 是指数函数取 \(u x\)\(dv e^x dx\)。于是 \(du dx\)\(v e^x\)。代入公式[ \int x e^x dx x e^x - \int e^x dx x e^x - e^x C ]我见过很多学生写出 \((x-1)e^x C\) 后不放心其实求个导就明白了\((x-1)e^x\) 求导是 \(e^x (x-1)e^x x e^x\)完全正确。第二个例子\(\int x \ln x dx\)按口诀\(\ln x\) 是对数函数优先级比幂函数高取 \(u \ln x\)\(dv x dx\)。于是 \(du \frac{1}{x}dx\)\(v \frac{x^2}{2}\)。代入[ \int x \ln x dx \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}dx \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} C ]这一步难点在于很多人把 \(\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\) 化简出错记住它等于 \(\frac{x}{2}\) 就好了。第三个例子\(\int \ln x dx\)这种题最容易被忽略因为被积函数只有一个 \(\ln x\)看不出是两个函数相乘。实际上把它看作 \(1 \cdot \ln x\)取 \(u \ln x\)\(dv dx\)。于是 \(du \frac{1}{x}dx\)\(v x\)。代入[ \int \ln x dx x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx x\ln x - x C ]这个结果最好记下来考研里经常以小题形式直接考。同样地\(\int \arctan x dx\) 也可以这样处理。2.4 公式法最容易翻车的地方 \(u\) 选反了会怎样选错方向的后果我用 \(\int x^2 e^x dx\) 演示给你看。错误选法\(u e^x\)\(dv x^2 dx\)。那 \(du e^x dx\)\(v \frac{x^3}{3}\)。代入[ \int x^2 e^x dx \frac{x^3}{3}e^x - \int \frac{x^3}{3} e^x dx ]好家伙原来 \(x^2 e^x\) 变成 \(x^3 e^x\)次数更高了。就算你硬着头皮继续做每做一次次数升一次一条道走到黑也积不出来。这里要提醒一句发现新积分比原来更复杂时不要继续往下算立刻回头换 \(u\)。高数题不是必须一条路走通及时止损也是一种能力。3. 表格法连续分部时最高效的“免写加速器”3.1 表格法是怎么来的如果你用公式法做 \(\int x^3 e^x dx\)会怎么写选 \(u x^3\)\(dv e^x dx\)然后[ \int x^3 e^x dx x^3 e^x - \int 3x^2 e^x dx ]还没完又得对 \(\int 3x^2 e^x dx\) 再分部一次再对 \(\int 6x e^x dx\) 再分部一次。写三个积分号中间全是重复劳动还很容易漏符号。表格法的思想很简单把“连续分部”这个动作机械化。左边写 \(u\) 的各阶导数右边写 \(dv\) 的各次积分然后交叉相乘、正负交替直接读出答案。它本质上和公式法完全等价只是省掉了重复书写降低了符号出错的概率。3.2 表格法操作规则我强烈建议用上下两行的方式呈现上行求导行写 \(f\) 这个函数及其逐阶导数下行积分行写另一个函数的一次积分、二次积分、三次积分……然后按照“左上乘右下”的规律依次写出各项[ f_0 g_1 - f_1 g_2 f_2 g_3 - f_3 g_4 \cdots ]其中 \(f_0, f_1, f_2\) 是 \(f\) 的零阶导、一阶导、二阶导\(g_1, g_2, g_3\) 是被积函数另一部分的一次积分、二次积分、三次积分。符号从正开始一正一负交替下去。什么时候停分两种情况如果某一行 \(f_i\) 变成了 \(0\)后面乘积都是 \(0\)直接停把前面所有对角线项加起来就是结果如果 \(f_i\) 不会变成 \(0\)比如指数函数乘三角函数那么写到某一步后要“补一项剩余积分”再把整个式子看成方程来解。这个技巧在 3.4 节讲。拿 \(\int x^2 e^x dx\) 举例先写两行上行\(x^2\)\(2x\)\(2\)\(0\)下行\(e^x\)\(e^x\)\(e^x\)\(e^x\)然后按规则写出对角线项[ x^2 e^x - 2x e^x 2e^x C ]因为到 \(2\) 的下一行是 \(0\)所以只用到第三个对角线项。这比公式法的三行推导快得多。3.3 最适场景多项式乘指数或三角函数表格法最适合的题型就是“多项式 × 指数函数”或“多项式 × 三角函数”因为多项式求导若干次后会变成 \(0\)表格会自然终止。我拿 \(\int x^2 \sin x dx\) 完整走一遍。先写两行上行求导\(x^2\)\(2x\)\(2\)\(0\)下行积分\(\sin x\)\(-\cos x\)\(-\sin x\)\(\cos x\)注意下行每次都要把上一个结果当被积函数再积分一次这是表格法最基本的规矩千万不能跳步。按对角线相乘第一项\(x^2(-\cos x) -x^2\cos x\)符号为正第二项\(2x(-\sin x) -2x\sin x\)符号为负所以整体是 \(-(-2x\sin x) 2x\sin x\)第三项\(2\cos x\)符号为正。结果就是[ -x^2\cos x 2x\sin x 2\cos x C ]这道题用公式法需要分三次写每次还要盯着积分号而表格法只需要算三组乘积。再比如 \(\int x^3 e^x dx\)直接写[ x^3 e^x - 3x^2 e^x 6x e^x - 6e^x C ]每一步的系数对应多项式求导的系数\(1, 3, 6, 6\)正好是 \(x^3\) 逐阶导数检查起来非常方便。3.4 表格法怎么处理循环积分以 \(\int e^x \sin x dx\) 为例指数函数乘三角函数二者求导和积分都不会变成 \(0\)表格法不能“自然终止”。但它依然好用关键是要用“循环型积分”的代数技巧。选 \(f e^x\)求导不变\(g_1 \int \sin x dx -\cos x\)。写两行上行求导\(e^x\)\(e^x\)下行积分\(-\cos x\)\(-\sin x\)按规则前两条对角线项相加再加剩余积分[ I e^x(-\cos x) - e^x(-\sin x) \int e^x(-\sin x) dx ]化简[ I -e^x\cos x e^x\sin x - I ]把 \(I\) 移到左边[ 2I e^x(\sin x - \cos x) ]所以[ I \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) C ]很多初学者一看到剩余积分里又出现 \(I\) 就慌了其实这在指数函数与三角函数相乘或两个三角函数相乘的题目里非常常见。处理手段也固定把原积分 \(I\) 视为未知数建立方程解出来。前提是算 \(I\) 时别漏掉负号移项后记得除以系数 \(2\)。3.5 表格法与公式法对比写到这我整理一下两套方法的特点对比项公式法表格法基本原理直接套 \(\int u,dv uv-\int v,du\)连续分部积分的机械化缩写书写量每次分部都要重写积分号只需抄两行再读对角线项适用场景一次分部就够的题多项式高次降幂、循环型积分符号管理每次分部一个负号相对直观多项正负交替需要特别注意出错点容易在多次分部时漏写某项容易把对角线乘积的符号写反判断标准我后面第 4 节会展开但你可以先记住一个倾向一次分部能解决的用公式法要分好几次的用表格法。4. 题型决策与定积分实战4.1 怎么一眼判断用哪种方法我给学生做分层训练时总结过一张决策表做题时直接对着查被积函数类型建议方法理由多项式 × 指数函数表格法多项式求导几次后归零表格自动终止多项式 × 三角函数表格法同上三角函数反复积分不改变类型多项式 × 对数函数公式法对数函数优先级最高一次分部后转有理函数积分多项式 × 反三角函数公式法反三角函数求导后变有理分式一次分部即可指数函数 × 三角函数表格法 循环积分两者都不会归零需要解方程单个对数/反三角公式法看作乘以 \(1\)一次分部解决可换元的幂指组合优先换元如 \(\int x e^{x^2}dx\)用凑微分更快这张表不是死的但能帮你快速定位。等练熟了你会形成一种直觉看到“幂函数乘指数/三角”就条件反射想写表格看到“对数/反三角乘多项式”就先考虑一次分部。4.2 定积分也能用表格法表格法不只用于不定积分定积分同样能用只是要注意每一项都要代入上下限。举个例子计算 \(\int_0^\pi x^2 \sin x dx\)。先按不定积分写出原函数前面已经算过[ \int x^2 \sin x dx -x^2\cos x 2x\sin x 2\cos x C ]所以定积分[ \int_0^\pi x^2 \sin x dx \left[-x^2\cos x 2x\sin x 2\cos x\right]_0^\pi ]代入 \(x\pi\)\(-π^2\cos π 2π\sin π 2\cos π π^2 0 - 2\)。 代入 \(x0\)\(0 0 2 2\)。所以结果为[ (\pi^2 - 2) - 2 \pi^2 - 4 ]使用表格法做定积分时常见错误是到最后才一次性代入上下限导致前面某一项漏代。我自己的习惯是先在草稿纸上把不定积分原函数完整写出来再单独代入上下限这样能减少一半的错误。4.3 先换元、先拆项再决定要不要分部有些题目表面上看需要分部积分但实际有更简洁的路。比如[ \int x e^{x^2},dx ]绝不能先去想 \(ux\)、\(dve^{x^2}dx\)因为 \(\int e^{x^2}dx\) 不是初等函数。正确做法是凑微分[ \int x e^{x^2},dx \frac{1}{2}\int e^{x^2},d(x^2) \frac{1}{2}e^{x^2} C ]再比如 \(\int (x^2 1)e^x dx\)可以直接拆成两项[ \int x^2 e^x dx \int e^x dx ]第一项用表格法第二项直接积往往比整体“硬分”更清爽。拆分后再分部表格法能发挥最大作用。4.4 一个更复杂的实操案例\(\int (x^22x)e^x\)这道题适合拿来体会“表格法到底省多少事”。被积函数是 \((x^22x) \cdot e^x\)如果直接按整体分部写起来也不麻烦但拆成两项反而更直观[ \int x^2 e^x dx 2\int x e^x dx ]用表格法分别计算\(\int x^2 e^x dx x^2 e^x - 2x e^x 2e^x C_1\)\(\int x e^x dx x e^x - e^x C_2\)所以[ \int (x^22x)e^x dx x^2 e^x - 2x e^x 2e^x 2x e^x - 2e^x C x^2 e^x C ]你可能会奇怪为什么最后只剩一个 \(x^2 e^x\) 了把 \((x^22x)e^x\) 稍微观察一下其实 \((x^22x) (x1)^2 -1\)不过这不重要。重要的是拆项后用表格法快速算高次项能让你把注意力集中在题目结构上而不是反复抄写积分号。5. 常见问题与排查技巧实录5.1 表格法符号老打错怎么办这是表格法使用频率最高的翻车点。三四个对角线项还好一旦项数多符号特别容易出问题。我的办法是在草稿上单写一行符号列。比如算 \(\int x^3 \sin x dx\)先写出 、-、、-、 这样的符号序列再一一代入乘积算完在每一项旁边检查符号。另外如果最后结果感觉不对最快的验证方式就是求导[ \left(-x^3\cos x 3x^2\sin x 6x\cos x - 6\sin x C\right) ]这个求导过程是不会骗人的如果求出来不等于 \(x^3\sin x\)那就说明中间某一步符号错了排查时重点看正负交替是否连续。5.2 \(u\) 怎么选都不对怎么办先看是不是没按口诀选。多数“选来选去不对”的人都是看见两个函数就想当然比如 \(\int x \ln x dx\) 非要把 \(x\) 当 \(u\)那当然越算越复杂。还有一种可能性是这个题目根本不适合分部积分而是需要换元或拆项。如果试了两次新积分都比原积分更复杂我会停下重新观察题目看有没有三角恒等式、有理函数拆分、凑微分等更优路径。分部积分不是万能钥匙它是工具箱里的一把好用工具但前提是题目适合。遇到 \(\int \frac{\ln x}{x^2}dx\) 这种用分部没问题遇到 \(\int \frac{x}{\sqrt{1x^2}}dx\)直接凑微分更简洁。5.3 循环积分怎么解才稳前面例子里的 \(\int e^x\sin x dx\) 属于最典型的循环积分。除了指数乘三角函数两个三角函数相乘也常见比如 \(\int \sin x \cos x dx\)但其实那个用倍角公式更快。真正需要“解方程”的循环积分解题步骤固定把要求的积分设为 \(I\)用分部或表格法算几步让式子右侧出现某个倍数 \(-I\) 或 \(kI\)把 \(I\) 合并到一侧解方程最后补上任意常数 \(C\)。这类题容易栽在“移项符号”和“忘记加 \(C\)”上我批作业时见过大量学生最后得到 \(I...\) 但没写 \(C\)。不定积分的 \(C\) 不是可选项是默认项一定不能丢。5.4 求导永远到不了 0 怎么办表格法里如果被积函数是 \(\ln x\)、\(\arctan x\) 这种求导不会归零的函数很多人会纠结表格法是不是用不了。其实可以灵活看待表格法不要求“必须求导到0”它只是一种简写工具。比如 \(\int x \ln x dx\)也可以用表格法写两行得到第一项 \(\frac{x^2}{2}\ln x\)第二项 \(-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx\)本质上和公式法一模一样。只是对数/反三角这类函数通常做一次分部就够了再用表格法反而显得多余。如果你发现求导好几步后式子越来越复杂大概率是思路有问题。这时回到决策表重新判断题目该用什么方法。5.5 验证结果的最佳姿势最后想说一个每个学生都应该养成的习惯做完积分题后求导验证。不定积分和导数互为逆运算原函数的导数必须等于被积函数这是最硬的验证标准。比如你计算出 \(\int x \sin x dx \sin x - x\cos x C\)求导验证[ (\sin x - x\cos x) \cos x - \cos x x\sin x x\sin x ]对上了。如果算出来是 \(\sin x x\cos x C\)求导后是 \(\cos x \cos x - x\sin x\)明显不对那就说明符号错了。有人会问不定积分的答案有时看起来和同学不一样是不是自己错了不一定的因为 \(\int \sin x \cos x dx\) 用倍角公式、用换元、用分部结果可能分别写成 \(-\frac{1}{4}\cos 2x C\)、\(\frac{1}{2}\sin^2 x C\)、\(-\frac{1}{2}\cos^2 x C\)三者互差一个常数都对。所以最终以“求导验证”为准不要只比对答案形式。我自己带学生的经验是分部积分从“会”到“熟”大概需要完整做十几道题而且一开始不要只做一种类型要把多项式乘指数、多项式乘三角、对数乘多项式、循环型都过一遍。做题时别急着套表格法先想清楚公式法每一步在做什么等理解透了再用表格法提速这样后面遇到再偏的变体也不会慌。每次做完用求导检查一遍坚持半个月你对分部积分的体感会完全不一样。
分部积分法怎么选u？公式法与表格法速成技巧全解析
做过几道分部积分题的人十有八九都遇到过这种情况公式 \(\int u,dv uv - \int v,du\) 背得比自己的名字还熟可面对一道 \(\int x^2 e^x dx\)先选谁当 \(u\)、把谁塞到 \(d\) 后面得纠结半天好不容易选定写到第二步发现积分比原来还长只能撕掉重来。这篇文章把分部积分法的两条核心路径彻底讲透——公式法适合一步步理解结构、练基本功表格法适合多项式乘指数、三角这类需要连续降次的题堪称高数刷题里的最强草稿纸。无论你是期末突击、考研复习还是自学微积分补课把这两套打法吃透遇到分部积分题就能直接对标出招不再靠猜。我从教辅答疑到考研陪跑批过几千道分部积分题发现大家的问题其实非常集中不会选 \(u\)、符号乱、多重积分写着写着自己就晕了。所以这篇文章不只讲“方法长什么样”更重要的是讲清楚“为什么这么做”“什么时候用哪种”“做错了怎么排查”再配上可以直接照着抄的例题步骤。你看完可以先做几道简单题找手感再拿综合性题目练手基本就能把分部积分从“玄学”变成“肌肉记忆”。1. 分部积分为什么总翻车先搞懂公式在干嘛1.1 公式是乘法求导法则的“倒放”很多人只背结论不知道分部积分公式是怎么来的所以一碰到变形题就发懵。其实它就来源于初中就会的乘法求导法则。设两个函数 \(u(x)\) 和 \(v(x)\)由求导法则[ (uv) uv uv ]把其中一项移过去[ uv (uv) - uv ]两边对 \(x\) 积分[ \int uv,dx uv - \int uv,dx ]因为 \(dv vdx\)\(du udx\)于是简写为[ \int u,dv uv - \int v,du ]我在课上总跟学生讲这个公式的本质就是“把两个函数相乘的积分转化成一个相乘项和一个新积分”。你损失了原来的 \(\int u,dv\)换来了一个 \(uv\) 和 \(\int v,du\)。合不合算全看你选的 \(u\) 和 \(v\) 是不是让后面的新积分更好做。1.2 核心矛盾两个函数相乘怎么“分家”有的同学把分部积分当成一个固定套路上来就套公式结果越积越乱。真正要解决的是两个问题第一谁去当 \(u\)谁去当 \(dv\)第二这一步做完以后新积分是不是比原来简单如果 \(dv\) 选得不好比如 \(\int x^2 e^x dx\) 里你把 \(e^x\) 当 \(u\)把 \(x^2 dx\) 当 \(dv\)那么 \(v x^3/3\)代入以后会得到一个 \(x^3 e^x\) 的积分次数不降反升这就是典型的“方向反了”。所以选 \(u\) 的标准不是“哪个好看选哪个”而是看哪个函数求导后会“变简单”比如 \(\ln x\) 求导变成 \(\frac{1}{x}\)多项式求导次数降低而 \(e^x\) 求导还是 \(e^x\)\(\sin x\) 求导虽然在 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 之间循环但并没有变得“更简单”。换句话说把“求导后变简单”的函数优先设为 \(u\)把“积分后不变形、好处理”的函数放进 \(dv\)成功率会高很多。这个思想贯穿公式法和表格法后面所有步骤都是在为这两条标准服务。2. 公式法按部就班把分部积分做对2.1 标准四步流程公式法最稳的写法是永远按四步走选确定谁当 \(u\)谁当 \(dv\)即谁进到 \(d\) 后面。求求 \(du\)并求 \(v \int dv\)。代代入公式 \(\int u,dv uv - \int v,du\)。算计算新的积分 \(\int v,du\)必要时重复分部。听起来简单但实际操作里有大量细节。比如第2步求 \(v\) 时很多人会纠结要不要加常数 \(C\)。我的建议是不定积分里这一步不用加 \(C\)因为 \(C\) 最后会被吸收到结果那个“总常数”里。考试时加不加都无所谓但加上反而容易让式子变乱。2.2 选 \(u\) 的“反对幂指三”口诀选 \(u\) 这件事高数前辈们早就总结出了口诀我建议直接背下来反三角函数 对数函数 幂函数 指数函数 三角函数也就是遇到两个函数相乘时优先级靠前的优先当 \(u\)。比如 \(\int x^2 \ln x dx\)\(\ln x\) 是对数函数优先级比幂函数高所以 \(u \ln x\)\(dv x^2 dx\)。再比如 \(\int x \arctan x dx\)\(\arctan x\) 是反三角函数优先级最高所以 \(u \arctan x\)。为什么这么排还是回到“求导后是否变简单”反三角函数求导变有理分式形式简化对数函数求导变成 \(\frac{1}{x}\)形式简化幂函数求导后次数降低一次比一次简单指数函数和三角函数求导后形式不变或只在几个相似形式间循环不产生“降级”效果。所以你只要把“求导后越来越简单”的函数放在 \(u\) 上让 \(dv\) 专心地去积分这就相当于把复杂积分慢慢“啃”成简单积分。不过口诀也有例外比如 \(\int x e^{x^2} dx\)按口诀 \(u x\)、\(dv e^{x^2}dx\)但 \(\int e^{x^2}dx\) 根本积不出来。这种题正确做法是先凑微分 \(\int x e^{x^2}dx \frac{1}{2}e^{x^2}C\)。所以拿到题目先别急着套分部先看有没有更简单的换元路径。2.3 三个经典示例照着写就能上手第一个例子最基础也最典型的 \(\int x e^x dx\)按口诀\(x\) 是幂函数\(e^x\) 是指数函数取 \(u x\)\(dv e^x dx\)。于是 \(du dx\)\(v e^x\)。代入公式[ \int x e^x dx x e^x - \int e^x dx x e^x - e^x C ]我见过很多学生写出 \((x-1)e^x C\) 后不放心其实求个导就明白了\((x-1)e^x\) 求导是 \(e^x (x-1)e^x x e^x\)完全正确。第二个例子\(\int x \ln x dx\)按口诀\(\ln x\) 是对数函数优先级比幂函数高取 \(u \ln x\)\(dv x dx\)。于是 \(du \frac{1}{x}dx\)\(v \frac{x^2}{2}\)。代入[ \int x \ln x dx \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}dx \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} C ]这一步难点在于很多人把 \(\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\) 化简出错记住它等于 \(\frac{x}{2}\) 就好了。第三个例子\(\int \ln x dx\)这种题最容易被忽略因为被积函数只有一个 \(\ln x\)看不出是两个函数相乘。实际上把它看作 \(1 \cdot \ln x\)取 \(u \ln x\)\(dv dx\)。于是 \(du \frac{1}{x}dx\)\(v x\)。代入[ \int \ln x dx x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx x\ln x - x C ]这个结果最好记下来考研里经常以小题形式直接考。同样地\(\int \arctan x dx\) 也可以这样处理。2.4 公式法最容易翻车的地方 \(u\) 选反了会怎样选错方向的后果我用 \(\int x^2 e^x dx\) 演示给你看。错误选法\(u e^x\)\(dv x^2 dx\)。那 \(du e^x dx\)\(v \frac{x^3}{3}\)。代入[ \int x^2 e^x dx \frac{x^3}{3}e^x - \int \frac{x^3}{3} e^x dx ]好家伙原来 \(x^2 e^x\) 变成 \(x^3 e^x\)次数更高了。就算你硬着头皮继续做每做一次次数升一次一条道走到黑也积不出来。这里要提醒一句发现新积分比原来更复杂时不要继续往下算立刻回头换 \(u\)。高数题不是必须一条路走通及时止损也是一种能力。3. 表格法连续分部时最高效的“免写加速器”3.1 表格法是怎么来的如果你用公式法做 \(\int x^3 e^x dx\)会怎么写选 \(u x^3\)\(dv e^x dx\)然后[ \int x^3 e^x dx x^3 e^x - \int 3x^2 e^x dx ]还没完又得对 \(\int 3x^2 e^x dx\) 再分部一次再对 \(\int 6x e^x dx\) 再分部一次。写三个积分号中间全是重复劳动还很容易漏符号。表格法的思想很简单把“连续分部”这个动作机械化。左边写 \(u\) 的各阶导数右边写 \(dv\) 的各次积分然后交叉相乘、正负交替直接读出答案。它本质上和公式法完全等价只是省掉了重复书写降低了符号出错的概率。3.2 表格法操作规则我强烈建议用上下两行的方式呈现上行求导行写 \(f\) 这个函数及其逐阶导数下行积分行写另一个函数的一次积分、二次积分、三次积分……然后按照“左上乘右下”的规律依次写出各项[ f_0 g_1 - f_1 g_2 f_2 g_3 - f_3 g_4 \cdots ]其中 \(f_0, f_1, f_2\) 是 \(f\) 的零阶导、一阶导、二阶导\(g_1, g_2, g_3\) 是被积函数另一部分的一次积分、二次积分、三次积分。符号从正开始一正一负交替下去。什么时候停分两种情况如果某一行 \(f_i\) 变成了 \(0\)后面乘积都是 \(0\)直接停把前面所有对角线项加起来就是结果如果 \(f_i\) 不会变成 \(0\)比如指数函数乘三角函数那么写到某一步后要“补一项剩余积分”再把整个式子看成方程来解。这个技巧在 3.4 节讲。拿 \(\int x^2 e^x dx\) 举例先写两行上行\(x^2\)\(2x\)\(2\)\(0\)下行\(e^x\)\(e^x\)\(e^x\)\(e^x\)然后按规则写出对角线项[ x^2 e^x - 2x e^x 2e^x C ]因为到 \(2\) 的下一行是 \(0\)所以只用到第三个对角线项。这比公式法的三行推导快得多。3.3 最适场景多项式乘指数或三角函数表格法最适合的题型就是“多项式 × 指数函数”或“多项式 × 三角函数”因为多项式求导若干次后会变成 \(0\)表格会自然终止。我拿 \(\int x^2 \sin x dx\) 完整走一遍。先写两行上行求导\(x^2\)\(2x\)\(2\)\(0\)下行积分\(\sin x\)\(-\cos x\)\(-\sin x\)\(\cos x\)注意下行每次都要把上一个结果当被积函数再积分一次这是表格法最基本的规矩千万不能跳步。按对角线相乘第一项\(x^2(-\cos x) -x^2\cos x\)符号为正第二项\(2x(-\sin x) -2x\sin x\)符号为负所以整体是 \(-(-2x\sin x) 2x\sin x\)第三项\(2\cos x\)符号为正。结果就是[ -x^2\cos x 2x\sin x 2\cos x C ]这道题用公式法需要分三次写每次还要盯着积分号而表格法只需要算三组乘积。再比如 \(\int x^3 e^x dx\)直接写[ x^3 e^x - 3x^2 e^x 6x e^x - 6e^x C ]每一步的系数对应多项式求导的系数\(1, 3, 6, 6\)正好是 \(x^3\) 逐阶导数检查起来非常方便。3.4 表格法怎么处理循环积分以 \(\int e^x \sin x dx\) 为例指数函数乘三角函数二者求导和积分都不会变成 \(0\)表格法不能“自然终止”。但它依然好用关键是要用“循环型积分”的代数技巧。选 \(f e^x\)求导不变\(g_1 \int \sin x dx -\cos x\)。写两行上行求导\(e^x\)\(e^x\)下行积分\(-\cos x\)\(-\sin x\)按规则前两条对角线项相加再加剩余积分[ I e^x(-\cos x) - e^x(-\sin x) \int e^x(-\sin x) dx ]化简[ I -e^x\cos x e^x\sin x - I ]把 \(I\) 移到左边[ 2I e^x(\sin x - \cos x) ]所以[ I \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) C ]很多初学者一看到剩余积分里又出现 \(I\) 就慌了其实这在指数函数与三角函数相乘或两个三角函数相乘的题目里非常常见。处理手段也固定把原积分 \(I\) 视为未知数建立方程解出来。前提是算 \(I\) 时别漏掉负号移项后记得除以系数 \(2\)。3.5 表格法与公式法对比写到这我整理一下两套方法的特点对比项公式法表格法基本原理直接套 \(\int u,dv uv-\int v,du\)连续分部积分的机械化缩写书写量每次分部都要重写积分号只需抄两行再读对角线项适用场景一次分部就够的题多项式高次降幂、循环型积分符号管理每次分部一个负号相对直观多项正负交替需要特别注意出错点容易在多次分部时漏写某项容易把对角线乘积的符号写反判断标准我后面第 4 节会展开但你可以先记住一个倾向一次分部能解决的用公式法要分好几次的用表格法。4. 题型决策与定积分实战4.1 怎么一眼判断用哪种方法我给学生做分层训练时总结过一张决策表做题时直接对着查被积函数类型建议方法理由多项式 × 指数函数表格法多项式求导几次后归零表格自动终止多项式 × 三角函数表格法同上三角函数反复积分不改变类型多项式 × 对数函数公式法对数函数优先级最高一次分部后转有理函数积分多项式 × 反三角函数公式法反三角函数求导后变有理分式一次分部即可指数函数 × 三角函数表格法 循环积分两者都不会归零需要解方程单个对数/反三角公式法看作乘以 \(1\)一次分部解决可换元的幂指组合优先换元如 \(\int x e^{x^2}dx\)用凑微分更快这张表不是死的但能帮你快速定位。等练熟了你会形成一种直觉看到“幂函数乘指数/三角”就条件反射想写表格看到“对数/反三角乘多项式”就先考虑一次分部。4.2 定积分也能用表格法表格法不只用于不定积分定积分同样能用只是要注意每一项都要代入上下限。举个例子计算 \(\int_0^\pi x^2 \sin x dx\)。先按不定积分写出原函数前面已经算过[ \int x^2 \sin x dx -x^2\cos x 2x\sin x 2\cos x C ]所以定积分[ \int_0^\pi x^2 \sin x dx \left[-x^2\cos x 2x\sin x 2\cos x\right]_0^\pi ]代入 \(x\pi\)\(-π^2\cos π 2π\sin π 2\cos π π^2 0 - 2\)。 代入 \(x0\)\(0 0 2 2\)。所以结果为[ (\pi^2 - 2) - 2 \pi^2 - 4 ]使用表格法做定积分时常见错误是到最后才一次性代入上下限导致前面某一项漏代。我自己的习惯是先在草稿纸上把不定积分原函数完整写出来再单独代入上下限这样能减少一半的错误。4.3 先换元、先拆项再决定要不要分部有些题目表面上看需要分部积分但实际有更简洁的路。比如[ \int x e^{x^2},dx ]绝不能先去想 \(ux\)、\(dve^{x^2}dx\)因为 \(\int e^{x^2}dx\) 不是初等函数。正确做法是凑微分[ \int x e^{x^2},dx \frac{1}{2}\int e^{x^2},d(x^2) \frac{1}{2}e^{x^2} C ]再比如 \(\int (x^2 1)e^x dx\)可以直接拆成两项[ \int x^2 e^x dx \int e^x dx ]第一项用表格法第二项直接积往往比整体“硬分”更清爽。拆分后再分部表格法能发挥最大作用。4.4 一个更复杂的实操案例\(\int (x^22x)e^x\)这道题适合拿来体会“表格法到底省多少事”。被积函数是 \((x^22x) \cdot e^x\)如果直接按整体分部写起来也不麻烦但拆成两项反而更直观[ \int x^2 e^x dx 2\int x e^x dx ]用表格法分别计算\(\int x^2 e^x dx x^2 e^x - 2x e^x 2e^x C_1\)\(\int x e^x dx x e^x - e^x C_2\)所以[ \int (x^22x)e^x dx x^2 e^x - 2x e^x 2e^x 2x e^x - 2e^x C x^2 e^x C ]你可能会奇怪为什么最后只剩一个 \(x^2 e^x\) 了把 \((x^22x)e^x\) 稍微观察一下其实 \((x^22x) (x1)^2 -1\)不过这不重要。重要的是拆项后用表格法快速算高次项能让你把注意力集中在题目结构上而不是反复抄写积分号。5. 常见问题与排查技巧实录5.1 表格法符号老打错怎么办这是表格法使用频率最高的翻车点。三四个对角线项还好一旦项数多符号特别容易出问题。我的办法是在草稿上单写一行符号列。比如算 \(\int x^3 \sin x dx\)先写出 、-、、-、 这样的符号序列再一一代入乘积算完在每一项旁边检查符号。另外如果最后结果感觉不对最快的验证方式就是求导[ \left(-x^3\cos x 3x^2\sin x 6x\cos x - 6\sin x C\right) ]这个求导过程是不会骗人的如果求出来不等于 \(x^3\sin x\)那就说明中间某一步符号错了排查时重点看正负交替是否连续。5.2 \(u\) 怎么选都不对怎么办先看是不是没按口诀选。多数“选来选去不对”的人都是看见两个函数就想当然比如 \(\int x \ln x dx\) 非要把 \(x\) 当 \(u\)那当然越算越复杂。还有一种可能性是这个题目根本不适合分部积分而是需要换元或拆项。如果试了两次新积分都比原积分更复杂我会停下重新观察题目看有没有三角恒等式、有理函数拆分、凑微分等更优路径。分部积分不是万能钥匙它是工具箱里的一把好用工具但前提是题目适合。遇到 \(\int \frac{\ln x}{x^2}dx\) 这种用分部没问题遇到 \(\int \frac{x}{\sqrt{1x^2}}dx\)直接凑微分更简洁。5.3 循环积分怎么解才稳前面例子里的 \(\int e^x\sin x dx\) 属于最典型的循环积分。除了指数乘三角函数两个三角函数相乘也常见比如 \(\int \sin x \cos x dx\)但其实那个用倍角公式更快。真正需要“解方程”的循环积分解题步骤固定把要求的积分设为 \(I\)用分部或表格法算几步让式子右侧出现某个倍数 \(-I\) 或 \(kI\)把 \(I\) 合并到一侧解方程最后补上任意常数 \(C\)。这类题容易栽在“移项符号”和“忘记加 \(C\)”上我批作业时见过大量学生最后得到 \(I...\) 但没写 \(C\)。不定积分的 \(C\) 不是可选项是默认项一定不能丢。5.4 求导永远到不了 0 怎么办表格法里如果被积函数是 \(\ln x\)、\(\arctan x\) 这种求导不会归零的函数很多人会纠结表格法是不是用不了。其实可以灵活看待表格法不要求“必须求导到0”它只是一种简写工具。比如 \(\int x \ln x dx\)也可以用表格法写两行得到第一项 \(\frac{x^2}{2}\ln x\)第二项 \(-\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx\)本质上和公式法一模一样。只是对数/反三角这类函数通常做一次分部就够了再用表格法反而显得多余。如果你发现求导好几步后式子越来越复杂大概率是思路有问题。这时回到决策表重新判断题目该用什么方法。5.5 验证结果的最佳姿势最后想说一个每个学生都应该养成的习惯做完积分题后求导验证。不定积分和导数互为逆运算原函数的导数必须等于被积函数这是最硬的验证标准。比如你计算出 \(\int x \sin x dx \sin x - x\cos x C\)求导验证[ (\sin x - x\cos x) \cos x - \cos x x\sin x x\sin x ]对上了。如果算出来是 \(\sin x x\cos x C\)求导后是 \(\cos x \cos x - x\sin x\)明显不对那就说明符号错了。有人会问不定积分的答案有时看起来和同学不一样是不是自己错了不一定的因为 \(\int \sin x \cos x dx\) 用倍角公式、用换元、用分部结果可能分别写成 \(-\frac{1}{4}\cos 2x C\)、\(\frac{1}{2}\sin^2 x C\)、\(-\frac{1}{2}\cos^2 x C\)三者互差一个常数都对。所以最终以“求导验证”为准不要只比对答案形式。我自己带学生的经验是分部积分从“会”到“熟”大概需要完整做十几道题而且一开始不要只做一种类型要把多项式乘指数、多项式乘三角、对数乘多项式、循环型都过一遍。做题时别急着套表格法先想清楚公式法每一步在做什么等理解透了再用表格法提速这样后面遇到再偏的变体也不会慌。每次做完用求导检查一遍坚持半个月你对分部积分的体感会完全不一样。
