前一篇已经把 SRF-PLL同步旋转坐标系锁相环的原理和参数设计讲得差不多了。这篇文章继续往下走聊一聊有源电力滤波器APF中经常出现的 DSOGI-PLL也就是双二阶广义积分器锁相环。它的核心价值可以概括成一句话在三相电网电压不平衡、波形畸变的情况下仍然能得到稳定、干净、没有二次纹波的正序基波相位。文章会从为什么 SRF-PLL 不够用开始逐步推导 SOGI 的传递函数再讲双 SOGI 如何分离正负序最后给出 MATLAB/Simulink 建模思路和参数调节经验。1. 为什么有源电力滤波器的锁相要单独做文章1.1 APF 对锁相环节的需求有源电力滤波器的主电路拓扑和控制策略有很多种但不管哪一种只要补偿指令需要和电网电压或者负载电流保持同步就离不开锁相环。比较常见的做法是在指令电流计算中用到电网电压的相位比如基于瞬时无功功率理论的 (p-q) 法、(i_p-i_q) 法都需要内部生成一组与电网基波电压同步的正余弦信号。锁相锁得准不准直接影响谐波检测、无功补偿和不平衡补偿的结果。实际 APF 接入点并不是理想电网。电网电压可能出现三相不平衡、电压跌落、频率波动和谐波污染。尤其当 APF 安装在工业负载附近时接入点电压往往已经被同一母线上的非线性负载“污染”波形已经不是纯粹的三相对称正弦波。在这种工况下如果锁相环只按理想电压设计补偿效果会大打折扣。1.2 三相电网不平衡时 SRF-PLL 为什么会出现 2 倍频振荡SRF-PLL 的基本思路是先把三相电压从 abc 静止坐标系变换到 αβ 静止坐标系再通过 Park 变换进入 dq 同步旋转坐标系。理想三相对称电压进入 dq 坐标系后d 轴和 q 轴分量都是直流量。锁相收敛后q 轴分量被调节到零PI 输出就是电网角频率再经过积分得到相位。问题出在不平衡工况。三相电压中包含正序分量和负序分量时正序分量在 dq 坐标系中表现为直流量负序分量的旋转方向和正序相反。以正序同步旋转坐标系为参考负序分量相当于一个反向旋转的空间矢量在 d、q 轴上会表现为 2 倍工频的交流量。对 50Hz 系统来说就是 100Hz 的脉动分量。这个 100Hz 分量一旦进入 PLL 的闭环回路PI 调节器不可能把它完全滤除于是锁相输出的角度会随负序分量发生周期性的振荡。电压不平衡度越大这个振荡越明显。APF 如果直接用这种相位生成同步信号指令电流计算会产生误差补偿后电网电流中仍然会残留低次谐波和负序分量。1.3 从 SRF-PLL 到 DSOGI-PLL 的思路既然问题出在负序分量和谐波分量进入 PLL最直接的办法是在锁相之前先把“正序基波分量”单独提取出来再交给 SRF-PLL 去锁相。DSOGI-PLL 的结构可以分成两大部分前级利用两个 SOGI 正交信号发生器在 αβ 静止坐标系下对电压进行滤波并且产生互相正交的信号。后级通过瞬时对称分量法从正交信号中计算正序分量再送入 SRF-PLL 锁相。这个方案的好处是SOGI 本身具有频率选择性能够抑制高次谐波正序计算模块又能把负序分量分离出去。相当于把“锁相”要处理的信号预先做了一次净化。下面按信号流顺序展开。2. SOGI 正交信号发生器的建模分析2.1 SOGI 的结构和传递函数SOGI 的全称是 Second Order Generalized Integrator二阶广义积分器。它在 DSOGI-PLL 中的作用可以理解成一个频率可调的正交信号发生器输入一个正弦信号 (v)它输出两个信号一个与输入同相记为 (v)另一个滞后 90°记为 (qv)。用传递函数表示[ H_d(s)\frac{v}{v}(s)\frac{k\omega_0 s}{s^2k\omega_0 s\omega_0^2} ][ H_q(s)\frac{qv}{v}(s)\frac{k\omega_0^2}{s^2k\omega_0 s\omega_0^2} ]其中(\omega_0)SOGI 的中心角频率也就是“谐振频率”(k)阻尼系数它同时决定带宽和动态响应速度。从表达式看(H_d(s)) 是一个典型的带通滤波器(H_q(s)) 则相当于一个低通性质的环节。正因为这个结构对频率很敏感它能够把输入信号中偏离 (\omega_0) 的分量衰减掉从而起到滤波作用。2.2 幅频特性和相频特性在中心频率 (\omega_0) 处两个传递函数的特性非常关键。令 (sj\omega_0)代入 (H_d(s))可以得到[ H_d(j\omega_0)1 ]也就是说在 SOGI 中心频率处输出 (v) 的幅值等于输入 (v) 的幅值相位不发生偏移。再看 (H_q(s))[ H_q(j\omega_0)-j ]这说明在中心频率处(qv) 的幅值也与输入幅值相等但相位滞后 90°。这两个特性意味着当输入信号频率正好等于 (\omega_0) 时SOGI 输出一对幅值相等、相位差 90° 的正交信号当输入信号频率偏离 (\omega_0) 时输出幅值会下降相位也不再正好是 0° 和 -90°当输入信号中含有高次谐波时SOGI 会对这些谐波产生衰减衰减程度取决于 (k) 的值和频率偏差大小。2.3 k 参数的选择观察特征方程[ s^2k\omega_0 s\omega_0^2 ]和标准二阶系统特征方程[ s^22\zeta\omega_n s\omega_n^2 ]对比可以发现如果让 (\omega_n\omega_0)那么[ k2\zeta ]工程上经常取阻尼比 (\zeta0.707)也就是[ k\sqrt{2}\approx 1.414 ]这个值可以兼顾动态响应和滤波能力。如果 (k) 太小SOGI 的带宽很窄滤波效果更好但动态响应变慢频率变化时跟踪能力差如果 (k) 太大响应更快但中心频率附近的带宽变大对谐波和负序分量的抑制能力下降。3. 双 SOGI 加正负序计算DSOGI 前级结构3.1 Clarke 变换与两相静止坐标系三相三线系统中通常不考虑零序分量。把三相电压经过 Clarke 变换得到 αβ 坐标系下的两个正交分量[ \begin{bmatrix} v_\alpha\ v_\beta \end{bmatrix}\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 -\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\ 0 \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_a\ v_b\ v_c \end{bmatrix} ]等幅值 Clarke 变换在实际控制中更常用因为变换后 αβ 分量的幅值和三相电压相电压幅值一致后续做标幺化更容易。得到 (v_\alpha) 和 (v_\beta) 之后分别送入两个 SOGI-QSG输入 (v_\alpha) 的 SOGI 输出 (v_\alpha) 和 (qv_\alpha)输入 (v_\beta) 的 SOGI 输出 (v_\beta) 和 (qv_\beta)。这就是“双 SOGI”名称的由来。3.2 正序/负序分量提取在 αβ 静止坐标系下三相正序分量和负序分量都会形成正交关系但旋转方向相反。要从中提取正序分量最常用的是瞬时对称分量法。定义 (q) 为一个滞后 90° 的算子那么 (\alpha\beta) 坐标系下的正序电压分量可以表示为[ \begin{bmatrix} v_\alpha^\ v_\beta^ \end{bmatrix}\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 -q\ q 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_\alpha\ v_\beta \end{bmatrix} ]对应的负序电压分量可以表示为[ \begin{bmatrix} v_\alpha^-\ v_\beta^- \end{bmatrix}\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 q\ -q 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_\alpha\ v_\beta \end{bmatrix} ]实际应用中(qv_\alpha) 和 (qv_\beta) 就是两个 SOGI-QSG 输出的正交滞后信号。也就是说不需要额外增加 1/4 个工频周期的延时模块直接利用 SOGI 的正交输出就能完成正序/负序分离。这里需要注意(q) 算子表示滞后 90°不同资料中的符号定义可能略有差异。建模仿真时如果发现提取出来的“正序分量”反而含有明显负序优先检查这个矩阵符号是不是接反了。3.3 DSOGI-PLL 总体结构把前面几个模块串联起来DSOGI-PLL 的整体结构可以看成三相电网电压 (v_a,v_b,v_c)Clarke 变换得到 (v_\alpha,v_\beta)两个 SOGI-QSG 分别产生正交信号正序计算模块得到 (v_\alpha^,v_\beta^)Park 变换把正序分量变换到 dq 坐标系PI 调节器控制 q 轴分量为零输出角频率估计值和相位 (\theta)其中 (\theta) 同时用于 Park 变换估计角频率用于 SOGI 的频率自适应。从信号流来看DSOGI-PLL 确实只是“SRF-PLL 前面加了一个信号预处理前级”但因为 SOGI 的中心频率要跟随 PLL 估计频率所以整个系统是闭环的不能把它简单理解成开环滤波器。4. DSOGI-PLL 整体建模与小信号分析4.1 建模分层做 DSOGI-PLL 的理论建模时可以把系统拆成几个环节分别处理。第一个环节是 SOGI-QSG。它是一个二阶动态环节在同步角频率附近可以等效为幅值增益约等于 1 的滤波器但在偏离中心频率时存在幅值衰减和相位偏移。第二个环节是正序计算模块。它在 αβ 静止坐标系下完成正序量提取本质上是代数运算不引入额外的动态。第三个环节是 Park 变换和 PI 调节器。这一部分和普通 SRF-PLL 的后级一致。Park 变换把交流量变成直流量PI 调节器调节 q 轴误差输出角频率修正量。第四个环节是“压控振荡器”或者说数控振荡器也就是对角频率做积分得到相位[ \theta\int \omega dt ]在仿真模型里这个积分环节通常用一个 Integrator 模块实现初始相位可以根据电网电压的初始相角设置也可以设成 0让锁相环自己拉入同步。4.2 频率自适应与环路耦合DSOGI-PLL 和固定中心频率 SOGI 滤波器的最大区别在于SOGI 的 (\omega_0) 不是固定常数而是来自 PLL 输出的角频率估计值。当电网频率发生偏移时锁相环检测到 q 轴误差变化PI 调节器输出新的角频率SOGI 的中心频率同步改变。这样即使输入电压频率偏离 50HzSOGI 仍然能保持较好的正交输出效果。这种耦合关系提高了系统的适应性但也给稳定性分析带来麻烦。严格来说SOGI 的 (\omega_0) 变成时变量后不能再用固定系数的线性传递函数描述整个系统。工程
电网不平衡下APF锁相：DSOGI-PLL原理、建模与参数设计
前一篇已经把 SRF-PLL同步旋转坐标系锁相环的原理和参数设计讲得差不多了。这篇文章继续往下走聊一聊有源电力滤波器APF中经常出现的 DSOGI-PLL也就是双二阶广义积分器锁相环。它的核心价值可以概括成一句话在三相电网电压不平衡、波形畸变的情况下仍然能得到稳定、干净、没有二次纹波的正序基波相位。文章会从为什么 SRF-PLL 不够用开始逐步推导 SOGI 的传递函数再讲双 SOGI 如何分离正负序最后给出 MATLAB/Simulink 建模思路和参数调节经验。1. 为什么有源电力滤波器的锁相要单独做文章1.1 APF 对锁相环节的需求有源电力滤波器的主电路拓扑和控制策略有很多种但不管哪一种只要补偿指令需要和电网电压或者负载电流保持同步就离不开锁相环。比较常见的做法是在指令电流计算中用到电网电压的相位比如基于瞬时无功功率理论的 (p-q) 法、(i_p-i_q) 法都需要内部生成一组与电网基波电压同步的正余弦信号。锁相锁得准不准直接影响谐波检测、无功补偿和不平衡补偿的结果。实际 APF 接入点并不是理想电网。电网电压可能出现三相不平衡、电压跌落、频率波动和谐波污染。尤其当 APF 安装在工业负载附近时接入点电压往往已经被同一母线上的非线性负载“污染”波形已经不是纯粹的三相对称正弦波。在这种工况下如果锁相环只按理想电压设计补偿效果会大打折扣。1.2 三相电网不平衡时 SRF-PLL 为什么会出现 2 倍频振荡SRF-PLL 的基本思路是先把三相电压从 abc 静止坐标系变换到 αβ 静止坐标系再通过 Park 变换进入 dq 同步旋转坐标系。理想三相对称电压进入 dq 坐标系后d 轴和 q 轴分量都是直流量。锁相收敛后q 轴分量被调节到零PI 输出就是电网角频率再经过积分得到相位。问题出在不平衡工况。三相电压中包含正序分量和负序分量时正序分量在 dq 坐标系中表现为直流量负序分量的旋转方向和正序相反。以正序同步旋转坐标系为参考负序分量相当于一个反向旋转的空间矢量在 d、q 轴上会表现为 2 倍工频的交流量。对 50Hz 系统来说就是 100Hz 的脉动分量。这个 100Hz 分量一旦进入 PLL 的闭环回路PI 调节器不可能把它完全滤除于是锁相输出的角度会随负序分量发生周期性的振荡。电压不平衡度越大这个振荡越明显。APF 如果直接用这种相位生成同步信号指令电流计算会产生误差补偿后电网电流中仍然会残留低次谐波和负序分量。1.3 从 SRF-PLL 到 DSOGI-PLL 的思路既然问题出在负序分量和谐波分量进入 PLL最直接的办法是在锁相之前先把“正序基波分量”单独提取出来再交给 SRF-PLL 去锁相。DSOGI-PLL 的结构可以分成两大部分前级利用两个 SOGI 正交信号发生器在 αβ 静止坐标系下对电压进行滤波并且产生互相正交的信号。后级通过瞬时对称分量法从正交信号中计算正序分量再送入 SRF-PLL 锁相。这个方案的好处是SOGI 本身具有频率选择性能够抑制高次谐波正序计算模块又能把负序分量分离出去。相当于把“锁相”要处理的信号预先做了一次净化。下面按信号流顺序展开。2. SOGI 正交信号发生器的建模分析2.1 SOGI 的结构和传递函数SOGI 的全称是 Second Order Generalized Integrator二阶广义积分器。它在 DSOGI-PLL 中的作用可以理解成一个频率可调的正交信号发生器输入一个正弦信号 (v)它输出两个信号一个与输入同相记为 (v)另一个滞后 90°记为 (qv)。用传递函数表示[ H_d(s)\frac{v}{v}(s)\frac{k\omega_0 s}{s^2k\omega_0 s\omega_0^2} ][ H_q(s)\frac{qv}{v}(s)\frac{k\omega_0^2}{s^2k\omega_0 s\omega_0^2} ]其中(\omega_0)SOGI 的中心角频率也就是“谐振频率”(k)阻尼系数它同时决定带宽和动态响应速度。从表达式看(H_d(s)) 是一个典型的带通滤波器(H_q(s)) 则相当于一个低通性质的环节。正因为这个结构对频率很敏感它能够把输入信号中偏离 (\omega_0) 的分量衰减掉从而起到滤波作用。2.2 幅频特性和相频特性在中心频率 (\omega_0) 处两个传递函数的特性非常关键。令 (sj\omega_0)代入 (H_d(s))可以得到[ H_d(j\omega_0)1 ]也就是说在 SOGI 中心频率处输出 (v) 的幅值等于输入 (v) 的幅值相位不发生偏移。再看 (H_q(s))[ H_q(j\omega_0)-j ]这说明在中心频率处(qv) 的幅值也与输入幅值相等但相位滞后 90°。这两个特性意味着当输入信号频率正好等于 (\omega_0) 时SOGI 输出一对幅值相等、相位差 90° 的正交信号当输入信号频率偏离 (\omega_0) 时输出幅值会下降相位也不再正好是 0° 和 -90°当输入信号中含有高次谐波时SOGI 会对这些谐波产生衰减衰减程度取决于 (k) 的值和频率偏差大小。2.3 k 参数的选择观察特征方程[ s^2k\omega_0 s\omega_0^2 ]和标准二阶系统特征方程[ s^22\zeta\omega_n s\omega_n^2 ]对比可以发现如果让 (\omega_n\omega_0)那么[ k2\zeta ]工程上经常取阻尼比 (\zeta0.707)也就是[ k\sqrt{2}\approx 1.414 ]这个值可以兼顾动态响应和滤波能力。如果 (k) 太小SOGI 的带宽很窄滤波效果更好但动态响应变慢频率变化时跟踪能力差如果 (k) 太大响应更快但中心频率附近的带宽变大对谐波和负序分量的抑制能力下降。3. 双 SOGI 加正负序计算DSOGI 前级结构3.1 Clarke 变换与两相静止坐标系三相三线系统中通常不考虑零序分量。把三相电压经过 Clarke 变换得到 αβ 坐标系下的两个正交分量[ \begin{bmatrix} v_\alpha\ v_\beta \end{bmatrix}\frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 -\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\ 0 \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_a\ v_b\ v_c \end{bmatrix} ]等幅值 Clarke 变换在实际控制中更常用因为变换后 αβ 分量的幅值和三相电压相电压幅值一致后续做标幺化更容易。得到 (v_\alpha) 和 (v_\beta) 之后分别送入两个 SOGI-QSG输入 (v_\alpha) 的 SOGI 输出 (v_\alpha) 和 (qv_\alpha)输入 (v_\beta) 的 SOGI 输出 (v_\beta) 和 (qv_\beta)。这就是“双 SOGI”名称的由来。3.2 正序/负序分量提取在 αβ 静止坐标系下三相正序分量和负序分量都会形成正交关系但旋转方向相反。要从中提取正序分量最常用的是瞬时对称分量法。定义 (q) 为一个滞后 90° 的算子那么 (\alpha\beta) 坐标系下的正序电压分量可以表示为[ \begin{bmatrix} v_\alpha^\ v_\beta^ \end{bmatrix}\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 -q\ q 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_\alpha\ v_\beta \end{bmatrix} ]对应的负序电压分量可以表示为[ \begin{bmatrix} v_\alpha^-\ v_\beta^- \end{bmatrix}\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 q\ -q 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_\alpha\ v_\beta \end{bmatrix} ]实际应用中(qv_\alpha) 和 (qv_\beta) 就是两个 SOGI-QSG 输出的正交滞后信号。也就是说不需要额外增加 1/4 个工频周期的延时模块直接利用 SOGI 的正交输出就能完成正序/负序分离。这里需要注意(q) 算子表示滞后 90°不同资料中的符号定义可能略有差异。建模仿真时如果发现提取出来的“正序分量”反而含有明显负序优先检查这个矩阵符号是不是接反了。3.3 DSOGI-PLL 总体结构把前面几个模块串联起来DSOGI-PLL 的整体结构可以看成三相电网电压 (v_a,v_b,v_c)Clarke 变换得到 (v_\alpha,v_\beta)两个 SOGI-QSG 分别产生正交信号正序计算模块得到 (v_\alpha^,v_\beta^)Park 变换把正序分量变换到 dq 坐标系PI 调节器控制 q 轴分量为零输出角频率估计值和相位 (\theta)其中 (\theta) 同时用于 Park 变换估计角频率用于 SOGI 的频率自适应。从信号流来看DSOGI-PLL 确实只是“SRF-PLL 前面加了一个信号预处理前级”但因为 SOGI 的中心频率要跟随 PLL 估计频率所以整个系统是闭环的不能把它简单理解成开环滤波器。4. DSOGI-PLL 整体建模与小信号分析4.1 建模分层做 DSOGI-PLL 的理论建模时可以把系统拆成几个环节分别处理。第一个环节是 SOGI-QSG。它是一个二阶动态环节在同步角频率附近可以等效为幅值增益约等于 1 的滤波器但在偏离中心频率时存在幅值衰减和相位偏移。第二个环节是正序计算模块。它在 αβ 静止坐标系下完成正序量提取本质上是代数运算不引入额外的动态。第三个环节是 Park 变换和 PI 调节器。这一部分和普通 SRF-PLL 的后级一致。Park 变换把交流量变成直流量PI 调节器调节 q 轴误差输出角频率修正量。第四个环节是“压控振荡器”或者说数控振荡器也就是对角频率做积分得到相位[ \theta\int \omega dt ]在仿真模型里这个积分环节通常用一个 Integrator 模块实现初始相位可以根据电网电压的初始相角设置也可以设成 0让锁相环自己拉入同步。4.2 频率自适应与环路耦合DSOGI-PLL 和固定中心频率 SOGI 滤波器的最大区别在于SOGI 的 (\omega_0) 不是固定常数而是来自 PLL 输出的角频率估计值。当电网频率发生偏移时锁相环检测到 q 轴误差变化PI 调节器输出新的角频率SOGI 的中心频率同步改变。这样即使输入电压频率偏离 50HzSOGI 仍然能保持较好的正交输出效果。这种耦合关系提高了系统的适应性但也给稳定性分析带来麻烦。严格来说SOGI 的 (\omega_0) 变成时变量后不能再用固定系数的线性传递函数描述整个系统。工程
