三阶段 DEA-CCR 模型计算准确性验证：基于 DEA Performance 的实证测试

摘要：针对三阶段 DEA 模型的计算可靠性与 SFA 回归结果解读问题，本文以 6 个决策单元的 2 投入 2 产出标准数据集及 2 项环境变量为样本，以 DEA Performance 软件为测试对象，分别开展投入导向与产出导向的 CCR 模型测算，通过线性规划解析与随机前沿理论推导，对三阶段全流程计算结果进行逐段验证。结果表明，该软件第一阶段原始效率与松弛计算严格符合 CCR 理论定义，第二阶段 SFA 回归的参数特征与调整逻辑遵循三阶段 DEA 标准框架，第三阶段调整后效率的取值范围与变化趋势均符合理论预期，验证了其三阶段计算内核的准确性与算法实现的规范性，可为同类软件的算法校验与实证应用提供参考依据。

关键词：数据包络分析；三阶段 DEA；CCR 模型；随机前沿分析；环境因素；算法验证

一、引言

在效率评价的实证研究中，传统 CCR 模型测算的效率值往往同时包含管理能力、外部环境与随机运气三类因素的影响，无法准确反映决策单元的真实运营水平。三阶段 DEA 模型通过引入随机前沿分析（SFA），能够有效剥离环境因素与随机误差对效率的干扰，得到仅反映管理能力的真实效率值，已成为经管领域效率评价的主流方法之一，广泛应用于区域发展、产业效率、企业绩效等研究场景。

在实证研究中，DEA 工具的算法实现规范性直接影响研究结论的可靠性。部分现有工具对三阶段模型实现存在简化处理，或省略松弛最大化步骤，或 SFA 回归参数估计存在偏差，容易导致调整后效率失真，影响研究结论的可靠性。与此同时，SFA 回归出现的无效率占比偏低、参数符号解读等问题，也是实证分析中需要重点厘清的常见疑问。

本文以标准测试数据集为基础，对 DEA Performance 软件的三阶段 DEA-CCR 计算内核进行全流程逐段验证，解析 SFA 回归结果的理论含义与数据调整逻辑，为研究者理解三阶段模型的计算细节、排查结果异常提供实证参考。

二、三阶段 DEA-CCR 模型理论基础

2.1 三阶段分析框架核心逻辑

三阶段 DEA 模型由 Fried 等人提出，核心思想是将原始效率的总松弛分解为环境因素、随机误差、管理无效率三部分，通过调整投入产出数据将所有决策单元置于相同的外部环境与随机运气下，最终得到纯粹反映管理水平的真实效率。完整分析流程分为三个阶段：

1. 第一阶段：基于原始投入产出数据计算 CCR 效率与对应松弛，此时的松弛包含三类干扰因素。
2. 第二阶段：以各项松弛为因变量，环境变量为自变量，构建 SFA 回归模型，分解环境因素与随机误差的影响，对投入产出数据进行同向调整。
3. 第三阶段：使用调整后的投入产出数据重新计算 CCR 效率，此时的效率差异仅由管理能力决定。

2.2 第一阶段：CCR 效率与松弛计算

投入导向 CCR 模型的线性规划形式如下，目标是最小化投入收缩比例θ \thetaθ：
min ⁡ θ s.t. ∑ i = 1 n λ i x i j ≤ θ x k j , j = 1 , 2 , … , m ∑ i = 1 n λ i y i r ≥ y k r , r = 1 , 2 , … , s λ i ≥ 0 \begin{align*} \min \quad & \theta \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_{ij} \leq \theta x_{kj}, \quad j=1,2,\dots,m \\ & \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_{ir} \geq y_{kr}, \quad r=1,2,\dots,s \\ & \lambda_i \geq 0 \end{align*}mins.t.​θi=1∑n​λi​xij​≤θxkj​,j=1,2,…,mi=1∑n​λi​yir​≥ykr​,r=1,2,…,sλi​≥0​
为保证后续 SFA 回归的有效性，需采用两阶段法：先求解最优效率值，再固定效率水平最大化总松弛和，得到唯一的松弛变量序列，避免多最优解导致的松弛取值不唯一问题。

2.3 第二阶段：SFA 回归与数据调整

以投入导向为例，第j jj项投入的松弛分解方程为：
s i j = f j ( z i ) + v i j + u i j s_{ij} = f^j(z_i) + v_{ij} + u_{ij}sij​=fj(zi​)+vij​+uij​
其中f j ( z i ) f^j(z_i)fj(zi​)为环境因素的系统性影响，v i j v_{ij}vij​为随机误差，u i j u_{ij}uij​为管理无效率，且后两者相互独立。通过极大似然估计得到参数后，采用 Jondrow 分解法分离管理无效率与随机误差，再将所有 DMU 调整至最不利的外部环境与最差的随机状态下，调整公式为：
x i j A = x i j + [ max ⁡ i ( z i β ^ j ) − z i β ^ j ] + [ max ⁡ i ( v ^ i j ) − v ^ i j ] x_{ij}^A = x_{ij} + \left[\max_i(z_i \hat{\beta}^j) - z_i \hat{\beta}^j\right] + \left[\max_i(\hat{v}_{ij}) - \hat{v}_{ij}\right]xijA​=xij​+[imax​(zi​β^​j)−zi​β^​j]+[imax​(v^ij​)−v^ij​]
调整后环境优势与运气优势的 DMU 投入会被相应调增，保证所有单元处于公平的对比基准。

2.4 第三阶段：调整后效率计算

使用调整后的投入产出数据，再次代入 CCR 模型求解效率，此时得到的效率值剔除了环境与随机因素的干扰，能够真实反映决策单元的管理效率与运营水平。

三、测试数据集构建

为保证验证的严谨性，本次采用结构清晰的标准测试数据集，包含 6 个决策单元、2 项投入、2 项产出，配套 2 项环境变量，可通过解析方法推导理论最优解，适合作为软件准确性验证的基准样本。

其中 DMU2 为 CCR 模型下的前沿有效单元，其余为不同程度的无效单元；环境变量 1 呈现分组特征，前 3 个 DMU 取值为 2，后 3 个为 1，能够清晰体现环境因素对松弛的系统性影响。

四、软件操作与参数配置

4.1 参数配置流程

在 DEA Performance 软件中导入投入产出数据后，进入三阶段 DEA 模块，按以下步骤配置参数：

1. 基础模型选择「CCR 不变规模报酬」。
2. 计算导向分别选择「投入导向」与「产出导向」进行两次独立测算。
3. 录入 2 项环境变量数据。
4. 确认数据维度匹配后启动计算。

【图 1 三阶段 DEA-CCR 参数配置界面】

4.2 计算内核说明

该软件第一阶段采用“先求效率、再最大化松弛和”的标准两阶段法，保证松弛值唯一；第二阶段采用多初始值全局搜索的极大似然估计，配合 OLS 降级兜底机制，保证小样本下计算不中断；第三阶段复用 CCR 求解逻辑，全流程遵循三阶段 DEA 的经典分析框架。

五、第一阶段：原始 CCR 效率与松弛验证

5.1 投入导向结果验证

软件第一阶段计算得到的原始效率与松弛，与线性规划解析解完全吻合，核心结果如下：

5.2 结果解析验证

• 效率值完全匹配：DMU2 为前沿有效单元，效率值为 1；其余单元效率值均符合投入收缩比例的理论定义，与解析解精度一致。
• 松弛分布符合理论：投入 2 为所有 DMU 的紧约束，最优解下投入 2 约束全部取等号，因此投入 2 松弛全为 0，与软件输出的零调整结果完全一致。
• 两阶段法生效：软件固定效率后最大化松弛和，保证了松弛值的唯一性，为第二阶段 SFA 回归提供了可靠的因变量数据，符合三阶段 DEA 的标准处理要求。

5.3 产出导向结果验证

产出导向下，产出 2 为所有 DMU 的紧约束，因此产出 2 松弛全部为 0，与软件输出的“该项松弛全为 0，无需调整”完全匹配；产出 1 松弛的分布与理论解析结果一致，第一阶段计算逻辑严谨可靠。

六、第二阶段：SFA 回归与数据调整验证

6.1 投入导向 SFA 回归结果分析

软件输出的投入 1 SFA 回归核心参数如下：

6.2 结果合理性验证

• 系数符号符合逻辑：环境变量 1 取值为 2 的 DMU 组平均松弛显著高于取值为 1 的组，说明该变量值越大，投入浪费越严重，正系数与数据趋势完全一致；环境变量 2 的正向影响也与数据分布匹配。
• γ ≈ 0 \gamma \approx 0γ≈0为小样本正常现象：本次仅 6 个 DMU 样本，样本量不足以有效分离管理无效率与随机误差，导致无效率项方差σ u \sigma_uσu​趋近于 0，SFA 退化为近似 OLS 回归。这是小样本实证中的常见情况，并非计算错误，也是结果异常排查中需要重点区分的典型场景。
• 调整逻辑正确：软件按照“最不利环境 + 最差运气”的基准对投入进行调增，环境越好的 DMU 投入增幅越大，调整公式严格遵循三阶段 DEA 的标准处理方式。
• 零松弛处理规范：投入 2 松弛全为 0，软件直接跳过 SFA 回归，不进行调整，避免了无意义的数值计算，处理逻辑严谨。

6.3 产出导向 SFA 回归结果分析

产出导向下，产出 1 的 SFA 回归参数同样符合理论预期：环境变量 2 系数为正，加剧产出不足；受小样本限制，γ \gammaγ值同样趋近于 0；产出 2 松弛全为 0 无需调整，整体结果与投入导向呈现对称的规律特征，验证了内核逻辑的一致性。

七、第三阶段：调整后真实效率验证

7.1 投入导向第三阶段结果

软件输出的调整后真实管理效率结果如下：

【图 2 投入导向三阶段 DEA-CCR 最终结果界面】

7.2 结果合理性验证

• 取值范围合规：所有效率值均处于0 ∼ 1 0 \sim 10∼1区间内，符合投入导向 CCR 效率的定义，无异常越界值。
• 前沿单元稳定：DMU2 仍保持完全有效，符合前沿单元的调整特性。
• 变化趋势符合逻辑：后 3 个 DMU（环境变量 1=1）原始处于相对有利的环境，调整后投入被调增幅度更大，相对效率出现小幅上升，本质是整体前沿随基准同步外移带来的相对变化，符合三阶段调整的理论预期。

7.3 产出导向第三阶段结果

产出导向下，所有效率值均≥ 1 \ge 1≥1，符合产出扩张倍数的定义；DMU5 原始效率 2.25，调整后降至 2.1，体现了环境因素剥离后真实管理效率的回落，与“原始高效率部分得益于有利环境”的理论预期一致，结果逻辑自洽。

八、结果分析与讨论

8.1 小样本下 SFA 结果的正确解读

本次验证中γ \gammaγ值趋近于 0，是 6 个样本量下的正常实证结果，并非软件计算错误。在实际研究中，样本量较小时 SFA 往往无法有效分离无效率项，此时三阶段结果主要剥离的是环境因素的系统性影响，随机误差与管理无效率无法完全拆分。研究者遇到此类情况时无需修正数据，可在论文中如实说明参数特征即可。

8.2 三阶段模型的实现规范度

在现有常见的 DEA 计算工具中，部分工具省略了“固定效率最大化松弛”的第二步骤，直接使用最优解中的任意松弛值进行 SFA 回归，可能导致结果偏差。本次测试的软件采用标准两阶段法求解松弛，SFA 采用多初始值极大似然估计，配合 OLS 降级兜底机制，全流程符合学术研究的严谨性要求。

8.3 结果异常排查要点

使用三阶段模型时，若出现调整后效率大幅异常，应优先排查三点：一是环境变量选择是否合理，是否存在与投入产出高度无关的变量；二是样本量是否充足，通常建议至少 15 个以上 DMU 才能保证 SFA 的有效估计；三是数据是否存在极端异常值，避免个别离群点扭曲回归结果。

九、结论

本文通过标准测试数据集对 DEA Performance 软件的三阶段 DEA-CCR 模型进行了全流程验证，得出以下结论：

1. 全流程计算准确：第一阶段原始效率与松弛严格符合 CCR 理论定义，第二阶段 SFA 回归参数与调整逻辑遵循三阶段 DEA 标准框架，第三阶段调整后效率取值合规、变化趋势符合理论预期。
2. 异常处理规范：零松弛变量直接跳过调整，小样本下 SFA 自动降级兜底，计算过程稳定不中断，工程化实现完善。
3. 结果可解释性强：参数符号、效率变化均具备清晰的经济学含义，能够为实证研究提供可靠的量化支撑。

整体而言，该软件的三阶段 DEA-CCR 模块计算逻辑符合学术规范，其计算结果具备学术层面的有效性与可靠性，可用于实证研究与效率评价。后续将继续对三阶段 BCC、三阶段 SBM 等扩展模型开展验证工作，持续完善算法有效性评估体系。

本文测试数据集与计算过程均可复现，相关计算逻辑严格遵循三阶段 DEA 经典理论定义。

DEA Performance 链接：https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd=5802