前情概要

教学演示

🌀 图片 × 复数 = 旋转 + 缩放

交互式教学演示：把每个像素坐标 $(x, y)$ 看作复数 $z = x + yi$，乘以复数 $c = a + bi$，实时观察变换效果

$z \times c = (x + yi) \times (a + bi) = (xa - yb) + (xb + ya)i$
几何意义：旋转 $|c|$ 的幅角角度，缩放 $|c|$ 的模长倍数 | 极坐标：$c = |c| \cdot e^{i\theta}$

📷原始图像[每个像素 $=$ 一个复数 $z$ $=$ $x$ $+$ $yi$]

✨变换后图像[每个像素 $\times$ 复数 $c$ $=$ $a$ $+$ $bi$]

复数 $c$

0.71 + 0.71i

极坐标形式

$1.00 · e^{i·45.0°}$

模长 $|c|$（缩放倍数）

1.00

幅角 $\arg(c)$（旋转角度）

45.0°

实部 a（水平分量，控制缩放和旋转的"邻边"）

0.71

虚部 b（垂直分量，控制旋转的"对边"）

0.71

当前状态：复数 $c$ $=$ $0.71$ $+$ $0.71i$，模长 $|c|$ $\approx$ 1.00，幅角 $\arg(c)$ $\approx$ 45°。
每个像素点绕图像中心逆时针旋转约 45°，缩放倍数约 1.00 倍（基本不变形）。
试试拖动滑块或点击预设按钮，观察不同复数带来的旋转和缩放效果！

📐 为什么复数乘法 = 旋转 + 缩放？

把像素坐标 $(x, y)$ 看作复数 $z$ $=$ $x$ $+$ $yi$，乘以另一个复数 $c$ $=$ $a$ $+$ $bi$：

$z$ $\times$ $c$ $=$ $(x + yi)$ $\times$ $(a + bi)$ $=$ $\mathbf{(xa - yb)}$ $+$ $\mathbf{(xb + ya)}$$i$

新坐标的实部 $xa-yb$ 和虚部 $xb+ya$ 正好对应二维旋转矩阵的运算！

用极坐标看更直观：若 $c$ $=$ $|c|$ $\cdot$ $e^{i\theta}$，则：

模长相乘 $|z$ $\times$ $c|$ $=$ $|z|$ $\cdot$ $|c|$ → 缩放 $|c|$ 倍
幅角相加 $\arg(z\times c)$ $=$ $\arg(z)$ $+$ $\theta$ → 旋转 $\theta$ 角度

所以复数乘法天然携带旋转基因——这是欧拉公式 $e^{i\theta}$ $=$ $\cos\theta$ $+$ $i\sin\theta$ 的馈赠。

🎮 预设按钮对照表

按钮	复数 $c$	模长 $\|c\|$	幅角	效果
$\times$1	$1 + 0i$	1.00	0°	完全不变
$\times$i	$0 + 1i$	1.00	90°	逆时针转 90°
$\times$(−1)	$-1 + 0i$	1.00	180°	上下左右全颠倒
$\times$(−i)	$0 - 1i$	1.00	−90°	顺时针转 90°
$\times$$e^{i\frac{\pi}{4}}$	$0.707$ $+$ $0.707i$	1.00	45°	转 45°，大小不变
$\times$1.5	$1.5 + 0i$	1.50	0°	放大 1.5 倍
$\times$$e^{i\frac{\pi}{3}}$	$0.5 + 0.866i$	1.00	60°	转 60°，大小不变
$\times$$e^{i\frac{3\pi}{4}}$	$-0.707 + 0.707i$	1.00	135°	转 135°，大小不变