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前言：

hello大家好，我是代码不加冰，广东这边天天下雨，而且都是一阵一阵的，早上想出去都出不去，实在是没啥办法，先刷一道算法题吧，让我们一起来看看。

摘要：

本文介绍了使用回溯算法解决数独问题的思路。数独需满足每行、每列及3x3宫格内数字1-9不重复。通过递归遍历棋盘每个空格，尝试填入1-9并验证合法性，若失败则回溯。关键点包括：使用布尔返回值快速终止递归、二维遍历确定位置、九宫格起始索引计算（row/33和col/33）。算法时间复杂度高但能保证找到唯一解，体现了回溯"试错-回溯"的核心思想，与N皇后问题类似但约束条件更复杂。文末提供了完整的Java实现代码。

题目背景：37.解数独

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

数独的解法需遵循如下规则：

1. 数字1-9在每一行只能出现一次。
2. 数字1-9在每一列只能出现一次。
3. 数字1-9在每一个以粗实线分隔的3x3宫内只能出现一次。（请参考示例图）

数独部分空格内已填入了数字，空白格用'.'表示。

示例 1：

输入：board = [["5","3",".",".","7",".",".",".","."],["6",".",".","1","9","5",".",".","."],[".","9","8",".",".",".",".","6","."],["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],[".","6",".",".",".",".","2","8","."],[".",".",".","4","1","9",".",".","5"],[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]输出：[["5","3","4","6","7","8","9","1","2"],["6","7","2","1","9","5","3","4","8"],["1","9","8","3","4","2","5","6","7"],["8","5","9","7","6","1","4","2","3"],["4","2","6","8","5","3","7","9","1"],["7","1","3","9","2","4","8","5","6"],["9","6","1","5","3","7","2","8","4"],["2","8","7","4","1","9","6","3","5"],["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]]解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

提示：

• board.length == 9
• board[i].length == 9
• board[i][j]是一位数字或者'.'
• 题目数据保证输入数独仅有一个解

题目解析：

上一篇文章我们总结过一些题型，是专门用回溯算法来做的，解数独就包含在内，因此整体的思路就是回溯算法的模板。然后我们读完题目，发现这道题和前面的N皇后有点异曲同工之妙，都是利用递归寻找，不合适就回溯，然后对元素进行检查，是否符合。都是有一些限制的，只不过这道题限制可能更多一些。

我们细致分析一下这道题的逻辑：

N皇后是因为每一行每一列只放一个皇后，只需要一层for循环遍历一行，递归来遍历列，然后一行一列确定皇后的唯一位置。

本题就不同了，本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字（而N皇后是一行只放一个皇后），并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

整体的图示：

之后我们进行代码逻辑的拆解：

回溯三部曲

• 递归函数以及参数

递归函数的返回值需要是bool类型，为什么呢

因为解数独找到一个符合的条件（就在树的叶子节点上）立刻就返回，相当于找从根节点到叶子节点一条唯一路径，所以需要使用bool返回值。

代码如下：

bool backtracking(vector<vector<char>>& board)

• 递归终止条件

本题递归不用终止条件，解数独是要遍历整个树形结构寻找可能的叶子节点就立刻返回。

不用终止条件会不会死循环

递归的下一层的棋盘一定比上一层的棋盘多一个数，等数填满了棋盘自然就终止（填满当然好了，说明找到结果了），所以不需要终止条件

那么有没有永远填不满的情况呢

这个问题在递归单层搜索逻辑里再来讲

• 递归单层搜索逻辑

在树形图中可以看出我们需要的是一个二维的递归 （一行一列）

一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性

代码如下：

bool backtracking(vector<vector<char>>& board) { for (int i = 0; i < board.size(); i++) { // 遍历行 for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列 if (board[i][j] != '.') continue; for (char k = '1'; k <= '9'; k++) { // (i, j) 这个位置放k是否合适 if (isValid(i, j, k, board)) { board[i][j] = k; // 放置k if (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回 board[i][j] = '.'; // 回溯，撤销k } } return false; // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false } } return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了 }

注意这里return false的地方，这里放return false 是有讲究的。

因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解

那么会直接返回，这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去

判断棋盘是否合法

判断棋盘是否合法有如下三个维度：

• 同行是否重复
• 同列是否重复
• 9宫格里是否重复

continue的作用

continue会跳过当前循环的剩余代码，直接进入下一次迭代。

在这个代码中：

java for (int j = 0; j < 9; j++) { if (board[i][j] != '.') { continue; // 跳过本次循环，执行 j++ } // 下面的代码只有在 board[i][j] == '.' 时才会执行 for (char k = '1'; k <= '9'; k++) { // 尝试填数... } }

关于九宫格：

其实就是排除相同元素，只是要找到九个格子的其实位置也就是起始索引用于循环遍历，

startRow 对照表

startCol 对照表

组合示例

text 格子 (2, 1)：startRow=0, startCol=0 → 宫格0 格子 (3, 4)：startRow=3, startCol=3 → 宫格4 格子 (7, 8)：startRow=6, startCol=6 → 宫格8 格子 (5, 3)：startRow=3, startCol=3 → 宫格4（注意和上面的格子不同）

参数列表

题目答案：

class Solution { public void solveSudoku(char[][] board) { solveSudokuHelper(board); } private boolean solveSudokuHelper(char[][] board){ //「一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列， // 一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！」 for (int i = 0; i < 9; i++){ // 遍历行 for (int j = 0; j < 9; j++){ // 遍历列 if (board[i][j] != '.'){ // 跳过原始数字 continue; } for (char k = '1'; k <= '9'; k++){ // (i, j) 这个位置放k是否合适 if (isValidSudoku(i, j, k, board)){ board[i][j] = k; if (solveSudokuHelper(board)){ // 如果找到合适一组立刻返回 return true; } board[i][j] = '.'; } } // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false return false; // 因为如果一行一列确定下来了，这里尝试了9个数都不行，说明这个棋盘找不到解决数独问题的解！ // 那么会直接返回， 「这也就是为什么没有终止条件也不会永远填不满棋盘而无限递归下去！」 } } // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了 return true; } /** * 判断棋盘是否合法有如下三个维度: * 同行是否重复 * 同列是否重复 * 9宫格里是否重复 */ private boolean isValidSudoku(int row, int col, char val, char[][] board){ // 同行是否重复 for (int i = 0; i < 9; i++){ if (board[row][i] == val){ return false; } } // 同列是否重复 for (int j = 0; j < 9; j++){ if (board[j][col] == val){ return false; } } // 9宫格里是否重复 int startRow = (row / 3) * 3; int startCol = (col / 3) * 3; for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++){ for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++){ if (board[i][j] == val){ return false; } } } return true; } }

结语：

我们的回溯章节就告一段段落了，刚开始的时候感觉难以理解，其实整体上都是一个模板，没必要太过于害怕。