二自由度无阻尼自由振动模态分解原理讲义（非矩阵形式·含完整数值算例）

一、物理模型与耦合运动微分方程

1.1 系统模型

两自由度弹簧-质量系统：左侧质量\(m_1\)经弹簧\(k_1\)固连墙面，\(m_1\)与右侧质量\(m_2\)之间由弹簧\(k_2\)连接，\(m_2\)右端通过弹簧\(k_3\)固定于支撑面，忽略阻尼作用，系统仅发生水平方向自由振动。
\(x_1(t)、x_2(t)\)分别为\(m_1、m_2\)相对于静平衡位置的水平位移，\(\ddot{x}_1、\ddot{x}_2\)为对应加速度。

1.2 动力学方程推导

分别对两个质量应用牛顿第二定律：
对\(m_1\)：左侧弹簧弹力\(-k_1 x_1\)，中间弹簧弹力\(k_2(x_2-x_1)\)，合力等于质量乘以加速度

\[m_1 \ddot{x}_1 = -k_1 x_1 + k_2(x_2-x_1) \]

整理得：

\[m_1 \ddot{x}_1 + (k_1+k_2)x_1 - k_2 x_2 = 0 \]

对\(m_2\)：中间弹簧弹力\(-k_2(x_2-x_1)\)，右侧弹簧弹力\(-k_3 x_2\)

\[m_2 \ddot{x}_2 = -k_2(x_2-x_1)-k_3 x_2 \]

整理得：

\[m_2 \ddot{x}_2 - k_2 x_1 + (k_2+k_3)x_2 = 0 \]

系统耦合运动方程组：

\[\begin{cases} m_1\ddot{x}_1 + (k_1 + k_2)x_1 - k_2 x_2 = 0 \\ m_2\ddot{x}_2 - k_2 x_1 + (k_2 + k_3)x_2 = 0 \end{cases} \]

方程特征：\(x_1、x_2\)相互交叉出现，两个运动方程彼此约束，称为动力学耦合，无法直接单独求解某一个位移，需要通过模态分解实现方程解耦。

二、固有频率求解（简谐振动假设法）

2.1 同步简谐振动假设

系统固有振动的特征为：两个质量以相同圆频率、同步做简谐振动，仅振幅存在差异，设振动形式：

\[\begin{cases} x_1(t)=A_1 \cos\omega t \\ x_2(t)=A_2 \cos\omega t \end{cases} \]

对时间二阶求导得加速度：

\[\begin{cases} \ddot{x}_1(t)=-\omega^2 A_1 \cos\omega t \\ \ddot{x}_2(t)=-\omega^2 A_2 \cos\omega t \end{cases} \]

2.2 代入运动方程化简

将位移、加速度表达式代入耦合微分方程组，等式两侧同时约去非零公共项\(\cos\omega t\)，得到关于振幅\(A_1、A_2\)的齐次线性代数方程组：

\[\begin{cases} \left(k_1+k_2-m_1\omega^2\right)A_1 - k_2 A_2 = 0 \\ -k_2 A_1 + \left(k_2+k_3-m_2\omega^2\right)A_2 = 0 \end{cases} \]

若系统发生自由振动，\(A_1、A_2\)不能同时取零（零解代表系统静止，无振动），因此齐次方程组存在非零解的充要条件为系数行列式等于0，该行列式方程称为系统频率方程：

\[\begin{vmatrix} k_1 + k_2 - m_1\omega^2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2 + k_3 - m_2\omega^2 \end{vmatrix}=0 \]

展开行列式得到关于\(\omega^2\)的一元二次特征方程：

\[m_1 m_2 \cdot \omega^4 - \left[m_1(k_2+k_3)+m_2(k_1+k_2)\right]\omega^2+\left[(k_1+k_2)(k_2+k_3)-k_2^2\right]=0 \]

求解该二次方程可得到两个正实数根\(\omega_1^2、\omega_2^2\)，开方后得到系统一阶固有圆频率（低频）\(\omega_1\)、二阶固有圆频率（高频）\(\omega_2\)，固有频率是系统固有属性，仅由质量、弹簧刚度决定，与初始激励无关。

三、模态振型求解

模态振型描述系统做某一阶固有频率同步振动时，两个质量位移振幅的相对比例关系，定义振幅比\(r=\dfrac{A_2}{A_1}\)，仅表征相对运动姿态，与振幅绝对大小无关。

将\(\omega_1^2\)代入齐次代数方程组，求解得到一阶振幅比\(r_1=\dfrac{A_{21}}{A_{11}}\)，对应一阶主振型；
将\(\omega_2^2\)代入齐次代数方程组，求解得到二阶振幅比\(r_2=\dfrac{A_{22}}{A_{12}}\)，对应二阶主振型。

物理意义：

一阶振型：低频振动模式，两质量大多同向运动，系统变形程度小；
二阶振型：高频振动模式，两质量反向运动，系统内部弹簧变形更大。

四、模态坐标变换与方程解耦（模态分解核心原理）

4.1 模态叠加原理

系统任意自由振动响应，均可等效为各阶固有模态振动的线性叠加。引入两组独立广义坐标\(q_1(t)、q_2(t)\)，称为模态坐标，建立物理位移与模态坐标的变换关系：

\[\begin{cases} x_1(t)=q_1(t)+q_2(t) \\ x_2(t)=r_1 q_1(t)+r_2 q_2(t) \end{cases} \]

变换系数为两阶模态振幅比，该线性变换的数学基础为模态正交性：不同阶振型在质量、刚度意义下相互正交，交叉耦合项恒等于0。

4.2 解耦后单自由度控制方程

将模态坐标变换式代入原耦合运动方程组，利用振型正交性消去交叉耦合项，原本相互约束的二阶耦合微分方程组，被解耦为两个互不相关的单自由度无阻尼自由振动方程：

\[\begin{cases} M_1 \ddot{q}_1 + K_1 q_1 = 0 \\ M_2 \ddot{q}_2 + K_2 q_2 = 0 \end{cases} \]

其中：
\(\omega_1=\sqrt{\dfrac{K_1}{M_1}}、\omega_2=\sqrt{\dfrac{K_2}{M_2}}\)，分别为两阶固有圆频率。

4.3 模态分解物理本质

把耦合的多自由度振动问题，拆解为若干个独立的单自由度振动问题分别求解，先得到各阶模态坐标的振动规律，再通过模态叠加还原物理坐标的实际振动响应，该过程即为模态分解。

五、数值算例完整求解

5.1 已知系统参数

\(m_1=m，m_2=2m，k_1=k，k_2=k，k_3=2k\)

步骤1：代入参数建立耦合运动方程

将参数代入通用动力学方程：

\[\begin{cases} m\ddot{x}_1 + 2k x_1 - k x_2 = 0 \\ 2m\ddot{x}_2 - k x_1 + 3k x_2 = 0 \end{cases} \]

等式两边分别除以\(m、2m\)标准化：

\[\begin{cases} \ddot{x}_1 + \dfrac{2k}{m}x_1 - \dfrac{k}{m}x_2 = 0 \\ \ddot{x}_2 - \dfrac{k}{2m}x_1 + \dfrac{3k}{2m}x_2 = 0 \end{cases} \]

步骤2：求解系统固有频率

设\(\lambda=\omega^2\)，代入频率行列式方程：

\[\begin{vmatrix} \dfrac{2k}{m}-\lambda & -\dfrac{k}{m} \\ -\dfrac{k}{2m} & \dfrac{3k}{2m}-\lambda \end{vmatrix}=0 \]

展开并整理特征方程：

\[2m^2 \lambda^2 -7km\lambda+5k^2=0 \]

求解一元二次方程：

\[\lambda=\frac{7km\pm\sqrt{49k^2m^2-4\times2m^2\times5k^2}}{4m^2}=\frac{7km\pm3km}{4m^2} \]

得到两个特征根：

\[\lambda_1=\frac{k}{m},\quad \lambda_2=\frac{5k}{2m} \]

系统两阶固有圆频率：

\[\omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad \omega_2=\sqrt{\frac{5k}{2m}} \]

步骤3：求解两阶模态振型

（1）一阶振型（\(\lambda_1=\dfrac{k}{m}\)）

代入振幅代数方程组第一式：

\[\left(\frac{2k}{m}-\frac{k}{m}\right)A_1-\frac{k}{m}A_2=0 \]

化简得\(A_1=A_2\)，振幅比\(r_1=\dfrac{A_{21}}{A_{11}}=1\)。
一阶振型：\(1:1\)，两质量同向同步振动。

（2）二阶振型（\(\lambda_2=\dfrac{5k}{2m}\)）

代入振幅代数方程组第一式：

\[\left(\frac{2k}{m}-\frac{5k}{2m}\right)A_1-\frac{k}{m}A_2=0 \]

化简得\(A_2=-\dfrac{1}{2}A_1\)，振幅比\(r_2=\dfrac{A_{22}}{A_{12}}=-\dfrac{1}{2}\)。
二阶振型：\(2:-1\)，两质量反向振动。

步骤4：模态坐标变换与方程解耦

结合振型比建立坐标变换关系：

\[\begin{cases} x_1(t)=q_1(t)+q_2(t) \\ x_2(t)=q_1(t)-\dfrac{1}{2}q_2(t) \end{cases} \]

利用振型正交性完成解耦，得到两组独立模态振动控制方程：

\[\begin{cases} \ddot{q}_1 + \dfrac{k}{m} q_1 = 0 \\ \ddot{q}_2 + \dfrac{5k}{2m} q_2 = 0 \end{cases} \]

步骤5：系统响应模态叠加

分别求解两个单自由度模态方程，得到模态坐标时域解：

\[\begin{cases} q_1(t)=C_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1) \\ q_2(t)=C_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2) \end{cases} \]

\(C_1、C_2、\varphi_1、\varphi_2\)由系统初始位移、初始速度确定。
将模态坐标回代坐标变换式，即可得到两个质量实际振动位移：

\[\begin{cases} x_1(t)=C_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)+C_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2) \\ x_2(t)=C_1\cos(\omega_1 t+\varphi_1)-\dfrac{1}{2}C_2\cos(\omega_2 t+\varphi_2) \end{cases} \]

物理含义：系统任意自由振动，本质是一阶同向模态、二阶反向模态两种固有振动模式的线性叠加。