Bézier-VS-NURBS

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1. Bézier 曲线发展时间线
2. 各种曲线包含关系图
3. 曲线要素表
4. 小结
5. 维基百科相关链接

 Bézier-VS-NURBS

关键字: Bézier, Rational Bézier, B-spline, NURBS

1. Bézier 曲线发展时间线

1912年，伯恩斯坦多项式建立，是贝塞尔曲线的数学基础。

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_polynomial

 

1959年，保罗·德·卡斯特里奥（Paul de Casteljau）运用德卡斯特里奥算法，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

并率先将其应用于法国汽车制造商雪铁龙的计算机辅助设计。德·卡斯特里奥的方法在法国获得了专利，但直到20世纪80年代才发表。

https://zh.wikipedia.org/wiki/德卡斯特里奥算法

https://en.wikipedia.org/wiki/De_Casteljau's_algorithm

 

~1962年，贝塞尔多项式则由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier ）在20世纪60年代广泛宣传，他独立发现了贝塞尔多项式，并将其用于雷诺汽车的车身设计。

 

~1967年，B-spline B样条曲线稍后提出 (~1967)，使用多段低阶曲线复合，解决了贝塞尔曲线全局修改的问题，同时降低了运算量。

 

~1989年，NURBS曲线最后提出 (~1989之前)，定义最复杂，能表达的曲线最灵活。 主要是解决B样条不能画椭圆、正圆和双曲线的问题。

 

2. 各种曲线包含关系图

.			NURBS	非均匀有理B样条
	Non-uniform rational basis spline
	.		B-spline	B-样条
			basis spline
		.
			Bézier	Rational Bézier
			贝塞尔	有理贝塞尔曲线
						.

 

3. 曲线要素表

曲线 Curves	阶数 Degree	控制点 Control Point	权重 Weight	节点向量 knot vector
Bézier 贝塞尔	Y	Y
Rational Bézier 有理贝塞尔	Y	Y	Y
B-spline B-样条	Y	Y	Y	等距节点 equidistant knots
NURBS 非均匀有理B样条	Y	Y	Y	非均匀节点 Non-uniform knot

 

4. 小结

• 从小到大的看: 
• 由最初只能全局修改的 Bézier 曲线。
• 增加了权重后扩展到有理 Bézier 曲线，可以精确表示圆锥曲线的线段，包括圆弧。
• 再由多段低阶 Bézier 曲线复合，并提供统一机制(均匀节点)来定义连接处的连续性，组成B-样条曲线。 支持局部修改，更加容易使用。由多段低阶Bézier组成，也避免过多的运算量。
• 在以上的基础，定义非均匀节点向量，形成非均匀有理B样条，NURBS。能表达的曲线最灵活，定义也最复杂。
• 反过来看: 
• NURBS，非均匀有理B样条，最为复杂，也能够表达更加精细的曲线。
• B-spline，B-样条，是NURBS的特例，使用均匀节点向量。
• 有理 Bézier 曲线，是B-样条的一部分，B-样条由多段曲线组成。
• Bézier 曲线 是 有理 Bézier 曲线 的特例，所有节点权重相同的有理 Bézier 曲线就是普通 Bézier 曲线。

 

5. 维基百科相关链接

https://en.wikipedia.org/wiki/Bézier_curve

https://zh.wikipedia.org/wiki/貝茲曲線

https://en.wikipedia.org/wiki/B-spline

https://zh.wikipedia.org/wiki/B样条

https://en.wikipedia.org/wiki/NURBS

https://zh.wikipedia.org/wiki/非均匀有理B样条

https://www.rw-designer.com/NURBS

https://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm